ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходимость последовательности к числу равносильна условию:
.
Рассмотрим произвольную подпоследовательность данной последовательности . По определению подпоследовательность состоит из членов последовательности . Поэтому , что и означает сходимость подпоследовательности к числу . Учитывая, что подпоследовательность выбиралась произвольно, получаем утверждение теоремы.
Однако не следует думать, что если последовательность не является сходящейся, то и ее подпоследовательности не могут быть сходящимися. Например, последовательность не является сходящейся, но ее подпоследовательности и сходятся соответственно к числам 1 и –1.
Если последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу , то это число с называют частичным пределом для последовательности . Таким образом можно сказать, что последовательность имеет два частичных предела 1 и –1.
Из теоремы 3.11. следует, что сходящаяся последовательность всегда имеет только один частичный предел – это то число, к которому сходится последовательность. Если же последовательность имеет хотя бы два различных частичных предела, то можно утверждать, что такая последовательность не является сходящейся.