Всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.).

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть дана ограниченная последовательность . Значит . Разобьем отрезок пополам и возьмем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов данной последовательности. (Такая половина обязательно существует, так как число членов последовательности бесконечно). Обозначим этот отрезок . Затем его разобьем пополам и возьмем ту половину, в которой содержится бесконечное число членов последовательности. Обозначим этот отрезок . Далее, разбив пополам и выбрав половину с бесконечным числом членов последовательности, получим отрезок . Продолжая этот процесс, в результате получим последовательность вложенных отрезков ; ; ; ...; ; ...

При этом длина отрезка равна ; длина отрезка равна ; длина отрезка равна ; и так далее. Длина отрезка равна . Легко видеть, что . Поэтому по лемме о вложенных отрезках последовательности и сходятся к общему пределу – числу .

Теперь покажем, как можно выбрать из последовательности сходящуюся подпоследовательность . В качестве возьмем любой член последовательности , находящийся в . В качестве берем любой член последовательности , находящийся в . В качестве берем любой член последовательности из и так далее. В результате получим последовательность , члены которой удовлетворяют условию .

Учитывая, что последовательности и сходятся к числу , по теореме о сжатой последовательности заключаем, что последовательность , являющаяся подпоследовательностью для , сходится к числу .