ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуется доказать два утверждения, что из определения 3.16 следует определение 3.17 и наоборот.
1)Пусть – есть предел функции в точке по Коши. Докажем, что есть предел функции по Гейне. Зададим произвольно . По определению 3.16 для него найдется такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к . По определению предела последовательности для найденного существует номер , начиная с которого будет выполняться неравенство . Но тогда по определению 3.16 , что и означает сходимость последовательности к числу , т.е. имеет место определение 3.17.
2)Пусть теперь есть предел функции в точке по Гейне. Докажем, что является пределом функции по Коши. Предположим противное, что не является пределом функции в точке по Коши:
=
= .
Зададим какую-нибудь последовательность положительных чисел , сходящуюся к нулю. Для найдется , удовлетворяющий условию , для которого выполняется неравенство . Для . И так далее. Для найдется , удовлетворяющий условию , для которого выполняется неравенство . И так далее. В результате выделится последовательность , такая, что при всех будем иметь . Переходя в этом неравенстве к пределу при , по теореме о сжатой последовательности получаем, что последовательность является бесконечно малой. Следовательно, по теореме 3.6 последовательность сходится к . Тогда по определению 3.17 последовательность должна сходиться к числу . Однако . Получили противоречие. Поэтому наше предположение о том, что число не является пределом функции по Коши в точке является неверным.
Теорема полностью доказана.
Иметь два определения предела функции в точке удобно тем, что при решении одного типа задач рациональнее пользоваться определением 3.16, а при решении другого типа задач – определением 3.17. Продемонстрируем это на примерах.
ПРИМЕРЫ
1) . Доказать, что .
Решение.
Зададим произвольно и найдем такое , что . Но последнее неравенство равносильно неравенству . Значит, в качестве можно взять любое положительное число меньшее .
2) ; Доказать, что .
Решение.
Зададим произвольно и найдем такое, чтобы .
Легко видеть, что для любого , удовлетворяющего неравенству , значения функции равны 1. Поэтому неравенство принимает вид , что всегда истинно. Следовательно, в качестве нас устроит любое положительное число.
3)Доказать, что предел функции при не существует.
Решение.
Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Возьмем последовательность , сходящуюся к нулю. Тогда соответственная последовательность значений функции имеет вид . Это постоянная последовательность, состоящая из нулей. Очевидно, что она сходится к нулю. Теперь возьмем другую последовательность , сходящуюся к нулю. Соответственная ей последовательность значений функции имеет вид . Это постоянная последовательность, состоящая из единиц. Очевидно, что она сходится к 1. Поэтому по определению 3.17 утверждаем, что данная функция предела не имеет.