Основой для построения любой теории действительного числа является множество рациональных чисел. Поэтому считаем, что нам дано множество со всеми его свойствами.
Определение 2.1. Сечением Дедекинда во множестве рациональных чисел называется разбиение множества на два непустых подмножества и так, что: 1) каждое рациональное число, принадлежащее меньше каждого рационального числа, принадлежащего ; 2) любое рациональное число принадлежит либо , либо .
Так определенное сечение Дедекинда будем обозначать символом . Множество называют нижним классом, а множество – верхним классом. Проведем классификацию сечений Дедекинда в зависимости от наличия во множествах и наибольших и наименьших элементов. Поскольку не существует наименьшего и наибольшего рациональных чисел, то в нет наименьшего числа, а в нет наибольшего числа. Поэтому логически могут представиться следующие случаи.
1)в есть наибольшее число, в нет наименьшего числа;
2)в нет наибольшего числа, в есть наименьшее число;
3)в нет наибольшего числа, в нет наименьшего числа;
4)в есть наибольшее число, в есть наименьшее число.
Покажем, что четвертый случай невозможен. Предположим противное. Обозначим через наибольшее рациональное число в , а через – наименьшее рациональное число в . По определению 2.1 . Рассмотрим рациональное число . Поскольку < < , то рациональное число не принадлежит ни , ни , что противоречит определению 2.1. Следовательно, наше предположение неверно, и четвертый случай невозможен.
Возможность первых трех случаев покажем построением соответствующих сечений.
Пусть произвольное рациональное число. Разобьем множество на два непустых подмножества и следующим образом. К отнесем все рациональные числа , удовлетворяющие неравенству , а к – все остальные рациональные числа. Ясно, что это будут рациональные числа, удовлетворяющие неравенству . На основании определения 2.1 утверждаем, что такое разбиение является сечением Дедекинда. При этом число будет наибольшим в ,а в не будет наименьшего. Полученное сечение назовем сечением Дедекинда первого вида.
Если бы мы к отнесли все рациональные числа, удовлетворяющие неравенству , а к – остальные рациональные числа (т.е., удовлетворяющие неравенству ), то получили бы сечение Дедекинда второго вида (второй случай).
Установим теперь существование сечений Дедекинда третьего вида. Возьмем произвольное простое число и разобьем множество на два подмножества и следующим образом. К отнесем все отрицательные рациональные числа, нуль и все такие положительные рациональные числа, квадрат которых меньше . К отнесем все положительные рациональные числа, квадрат которых больше . Рационального числа, квадрат которого равнялся бы простому числу , не существует. Очевидно, что построенное разбиение множества является сечением Дедекинда. Покажем, что в не существует наибольшего рационального числа. Предположим противное. Пусть – наибольшее рациональное число в . Тогда, ясно, что должно быть положительным и удовлетворять условию .
Рассмотрим рациональное число
.
Это число – положительно, так как положительны и . Убедимся, что . Действительно,
< 0.
Значит, рассматриваемое число принадлежит и поэтому должно удовлетворять неравенству . Однако
> 0.
Откуда следует, что . Полученное противоречие убеждает нас в неверности предположения о наличии в наибольшего рационального числа.
Совершенно аналогично можно установить, что в нет наименьшего рационального числа. Следовательно, построенное сечение есть сечение Дедекинда третьего вида.