ТЕОРЕМА 3.27. .

 

х

А

В

С

О

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возьмем окружность радиуса и рассмотрим острый центральный угол АОВ, радианная мера которого равна .

Проведем касательную к окружности в точке до пересечения в точке с прямой ОВ.

Сравним площади треугольников АОВ, АОС и сектора АОВ. Легко видеть, что треугольник АОВ является частью сектора АОВ, который в свою очередь является частью треугольника АОС. Поэтому имеем цепочку неравенств

.

 

 

Выразив площади фигур через и , получим

 

, или . (1)

 

Учитывая, что , поделим все части последнего неравенства на . Получим , или, переходя к обратным величинам, будем иметь

 

(2)

 

Умножив все части неравенства (2) на (-1) и прибавив ко всем частям 1, приходим к неравенству . Оценим правую часть этого неравенства: . Далее из неравенства (1) следует, что . Поэтому получаем . Итак имеем

 

(3)

 

Перейдем к пределу при . В силу ограничения получаем, что стремится к нулю справа, т.е. . Поскольку левая и правая части неравенства (3) стремятся к нулю, то по теореме о сжатой функции приходим к заключению

, или .

Пусть теперь . Заметим, что при таких останется справедливым неравенство (2) в силу четности функций и . Умножив все части неравенства (2) на (-1) и прибавив ко всем частям 1, приходим к неравенству . Оценивая правую часть этого неравенства, получаем . Следовательно, . Перейдем к пределу при . При этом . Так как левая и правая части последнего неравенства стремятся к нулю, то по теореме о сжатой функции получаем, что , или . Теперь на основании теоремы 3.25 можно утверждать, что .

 

Следствие Для всех действительных имеет место неравенство .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для утверждение доказано в теореме 3.27. Если же , то утверждение очевидно, так как , а .