Покажем сначала, что основные элементарные функции непрерывны в любой точке своей области определения.
1)Непрерывность функции была установлена в § 16.
2)Доказательство непрерывности функции в произвольной точке из области определения проведем в два этапа. Сначала покажем непрерывность этой функции в точке , т.е. что . Рассмотрим два случая, когда и когда .
Пусть . Зададим произвольно и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполняться условие . Рассмотрим неравенство . Оно равносильно неравенству , которое равносильно неравенству . Выберем наименьшее из чисел и . Так как
,
то > . Поэтому, взяв в качестве любое положительное число, меньшее чем , при всех , удовлетворяющих условию , будет обеспечено выполнение неравенства .
Пусть теперь . Тогда рассмотрим число . Для числа было установлено, что . Значит . Отсюда получаем .
Теперь покажем, что показательная функция непрерывна в любой точке из области определения.
,
что и требовалось доказать.
3)Установим теперь непрерывность функции в точке из области определения, т.е. покажем, что .
Зададим произвольно и найдем такое, что
.
Неравенство равносильно неравенству , которое равносильно совокупности
.
Для каждого случая находим как положительное число, меньшее чем .
4)Покажем непрерывность в произвольной точке . Зададим произвольно и найдем такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие .
.
Поскольку , а , то
.
Отсюда приходим к выводу, что, в качестве можно взять любое положительное число, меньшее . Совершенно аналогично можно установить непрерывность функции в любой точке , т.е. справедливость равенства .
После этого на основании теоремы 3.26 можно утверждать, что в любой точке области определения будут непрерывны функции и .
5) Установим теперь непрерывность функции в произвольной точке из области определения. Известно, что функция на отрезке монотонно возрастает от -1 до +1. Поэтому функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между отрезками и . Этот факт позволяет определить на [-1,1] функцию , обратную к функции. . Функция , как и функция , будет монотонно возрастающей. Возьмем произвольную точку из . Ей будет соответствовать точка из . Зададим произвольно так, чтобы точки и лежали на отрезке . Покажем, как можно найти такое, чтобы при всех , удовлетворяющих неравенству , выполнялось условие .
Для числа найдется такое из [-1,1] ,что . Аналогично для числа найдется число из [-1,1] такое, что . При этом в силу монотонного возрастания функции из того, что будем иметь: (см. рисунок). Отсюда видно, что в качестве можно взять любое положительное число меньшее, чем .
Замечание. Если же будет таким, что выйдет за пределы отрезка [-1,1], то в качестве можно взять число 1 (число -1).
Если учесть, что , то функция непрерывна в любой точке из области определения по теореме 3.26.
Непрерывность функций и в любой точке области определения устанавливается аналогично непрерывности .
6)Для установления непрерывности степенной функции докажем предварительно теорему о непрерывности сложной функции.