ТЕОРЕМА 3.28. Пусть имеем сложную функцию . Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зададим произвольно и найдем для него в силу непрерывности функции в точке такое , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Далее, для найденного силу непрерывности функции в точке найдется , такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Таким образом, для произвольно заданного находится такое, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется условие , которое влечет за собой выполнение условия , что и означает непрерывность функции в точке .

 

7)Теперь покажем, что функция непрерывна в произвольной точке . Запишем данную функцию в виде . Функция непрерывна в любой точке из области определения. Функция непрерывна в любой точке из области определения. Следовательно, по теореме 3.28 будет непрерывной в точке и сложная функция .

Опираясь на теоремы 3.26 и 3.28 можно утверждать, что любая элементарная функция будет непрерывной в своей области определения.