ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала случай, когда . Поскольку нас интересует поведение функции вблизи точки , то можно ограничиться рассмотрением только положительных . Выберем произвольно действительное число . Обозначим целую часть через , т.е. . Напомним, что целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее . Исходя из очевидного неравенства , получаем цепочку равносильных утверждений:
.
Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Замечая, что , получаем
,
или
Вычисляя пределы в правой и левой частях последнего неравенства, получаем, что они равны . Следовательно, по теореме о сжатой функции .
Теперь рассмотрим случай, когда . Введем замену : . Тогда условие будет равносильно условию . Значит
.
Замечание. Иногда второй замечательный предел записывают в другом виде Пусть . Тогда если , то , и мы получаем .