ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы вытекает из теоремы 3.25 и определения односторонней непрерывности функции.
Если функция не является непрерывной в точке , то ее называют разрывной в этой точке, а точку – точкой разрыва. Функция может иметь разрыв в точке в следующих случаях:
1)не существует ;
2) существует, но .
3)функция неопределена в точке , но определена в некоторой проколотой окрестности этой точки.
Определение 3.25. Пусть – точка разрыва функции . Ее называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке . В противном случае (т.е. когда хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен) точка называется точкой разрыва второго рода. В свою очередь разрыв первого рода может быть устранимым, если и неустранимым, если . В случае неустранимого разрыва разность называется скачком.
Рассмотрим примеры.
1) . Исследовать точки разрыва.
Решение.
Точкой разрыва может быть только точка , так как в этой точке функция неопределена, но определена в любой проколотой окрестности этой точки. В остальных точках функция будет непрерывной по теореме 3.26. Односторонние пределы данной функции в точке мы уже находили в теореме 3.27:
Поэтому делаем вывод, что является точкой разрыва первого рода, причем разрыв устранимый.
2)
| –1 |
| y |
| x |
Решение.
Найдем односторонние пределы функции в точке . ; . Значит, есть точка разрыва первого рода, причем разрыв неустранимый; скачок равен .
3) . Исследовать точки разрыва.
Решение.
Точкой разрыва может быть лишь точка , так как в ней функция неопределена, но определена в любой проколотой окрестности этой точки. В остальных точках данная функция будет непрерывной по теореме 3.26. Поскольку , то является точкой разрыва второго рода для данной функции.