ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем ограниченность сверху функции . Предположим противное, что неограничена сверху. Значит . Для найдем такой, что ; для найдем такой, что и так далее, для найдется такой, что и так далее. В результате получим последовательность , обладающую свойством : . Поскольку последовательность расположена на отрезке , то она ограничена. По лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Тогда по непрерывности функции должны иметь . Однако в силу выбора последовательности мы получаем, что . Полученное противоречие позволяет сделать вывод об ограниченности сверху функции . Аналогично показывается ограниченность снизу.
Замечание. Непрерывность функции на отрезке является существенным условием теоремы. Если же отрезок заменить интервалом, то утверждение теоремы становится неверным. Например, функция непрерывна на , но неограничена.