ТЕОРЕМА Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то среди всех ее значений есть наибольшее и наименьшее.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По 1 теореме Вейерштрасса непрерывная на функция ограничена. Следовательно, множество значений этой функции имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Пусть . Покажем, что на найдется такая точка , что . Предположим противное, что . Рассмотрим функцию . Она непрерывна на по теореме 3.26 и положительна. Следовательно, по 1 теореме Вейерштрасса она ограничена. Поэтому . Но равносильно неравенству , или , или . Таким образом, . Это противоречит тому, что . Значит, наше предположение неверно и . Аналогично можно показать существование такого, что .