ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах его принимает значения разных знаков, то внутри найдется точка такая, что .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Разделим отрезок пополам точкой . Может так случиться, что .

a

c

b

Тогда теорема доказана. Если же , то на концах одного из отрезков и функция будет принимать значения разных знаков, причем на левом конце значение функции будет отрицательным, а на правом – положительным. Обозначим такой отрезок . Разделим его пополам точкой . Если , то теорема доказана; если же , то обозначим через тот из отрезков и , на концах которого функция принимает значения разных знаков: . Продолжая далее этот процесс, либо на -ом шагу получим , и теорема доказана, либо получим последовательность вложенных отрезков , в которой

.

По лемме о вложенных отрезках заключаем о сходимости последовательностей и к одному и тому же пределу. Обозначим его через . Покажем, что . Действительно, отрезки выбирались так, что . Переходя в этих неравенствах к пределу при , получаем . Непрерывность функции приводит нас к заключению, что

.

Отсюда следует, что .

Теорема доказана.

 

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси на другую, то она пересекает ось .