ТЕОРЕМА Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и , то для любого числа между и найдется точка из такая, что .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть для определенности . Рассмотрим функцию . Она непрерывна на по теореме 3.26 и ; . Следовательно, по 1 теореме Больцано-Коши на найдется точка такая, что , т.е. .

 

Следствие Если функция непрерывна на , то множество значений этой функции является отрезком.

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . Тогда множество значений функции лежит на отрезке . Покажем, что каждое число из является значением функции . Возьмем произвольно число из . Найдем такие значения и , чтобы . Заметим, что это всегда возможно, так как в противном случае числа и не являлись бы точными гранями для . Следовательно, по 2-ой теореме Больцано-Коши на отрезке найдется точка такая, что . Так как – произвольное число из , то утверждаем, что любое число из является значением функции .

Следствие доказано.