Рассмотрим функцию , непрерывную в некоторой точке промежутка . Это значит, что
.
Заметим, что, вообще говоря, выбираемое зависит не только от , но и от точки . Однако существуют такие функции, для которых выбор не зависит от точки . Такие функции называют равномерно непрерывными на промежутке .
Определение 3.26. Функцию называют равномерно непрерывной на промежутке , если .
Суть этого определения состоит в том, что модуль разности между любыми двумя значениями равномерно непрерывной функции на промежутке можно сделать как угодно малым, если взять значения аргументов достаточно близко друг от друга.
Если же , то функция не является равномерно непрерывной на .
Легко видеть, что если функция равномерно непрерывна на промежутке , то она будет непрерывной на . Действительно, выбирая произвольно и полагая в определении 3.26 , , получим определение 3.22. Обратное неверно: непрерывная на промежутке функция может не быть равномерно непрерывной на этом промежутке. Покажем, например, что функция , непрерывная на , не будет равномерно непрерывной на . Возьмем и две бесконечно малые последовательности и . Ясно, что их разность будет бесконечно малой последовательностью. Поэтому . Заметим, что и . Следовательно . Таким образом, для при произвольно выбранном найдутся два значения и из такие, что , но . Достаточно лишь взять . Это и значит, что функция не является равномерно непрерывной на .