Определение 2.2. Действительным числом назовем любой из трех видов сечений Дедекинда во множестве рациональных чисел.
Множество действительных чисел обозначают через .
Пусть – сечение Дедекинда первого вида во множестве и – наибольшее рациональное число в . Рациональное число является пограничным числом между множествами и и им можно характеризовать сечение . Этот факт будем обозначать символом .
Аналогично, сечение второго вида можно также характеризовать рациональным числом , являющимся наименьшим в и пограничным между и , и записывать .
Если же мы имеем дело с сечением Дедекинда третьего вида во множестве , то будем считать, что классы и также разделяются некоторым пограничным числом , но это число не является рациональным.
Определение 2.3. Действительные числа, определяемые сечениями Дедекинда первого или второго видов во множестве , будем называть рациональными, а определяемые сечениями Дедекинда третьего вида, – иррациональными.
Нетрудно видеть, что принципиальной разницы между сечениями Дедекинда первого и второго видов нет. Любое рациональное число можно рассматривать как сечение Дедекинда первого вида, считая наибольшим в , но можно рассматривать и как сечение Дедекинда второго вида, считая наименьшим в . Такая двойственность неудобна. Поэтому в дальнейшем, говоря о рациональном числе , условимся пограничное число всегда относить к верхнему классу .
Определение 2.4. Два действительных числа и назовем равными (обозначение: ) тогда и только тогда, когда и .
Определение 2.5. Действительное число будем называть большим действительного числа и обозначать , если множество является собственным подмножеством множества . Число при этом называют меньшим числа и обозначают .
В частности, если – рациональное число, то действительное число будет больше , если принадлежит и меньше или равно , если принадлежит .
Например, действительное число назовет положительным, когда 0 принадлежит .
Если для трех действительных чисел и выполняется неравенство , то скажем, что число лежит между числами и