ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и два неравных действительных числа. Положим для определенности, что . По определению 2.5 это означает, что множество рациональных чисел является собственным подмножеством множества рациональных чисел . Отсюда следует, что в имеется рациональное число , не содержащееся в . Следовательно .
Рассматривая сечения Дедекинда во множестве рациональных чисел, мы столкнулись с любопытным фактом: не всегда сечение производится рациональным числом. Именно это обстоятельство и послужило основанием для введения иррациональных чисел. Рассмотрим теперь сечения Дедекинда во множестве действительных чисел .
Сечением Дедекинда во множестве назовем разбиение множества на два непустых подмножества и таких, что:
1)каждое действительное число, принадлежащее меньше каждого действительного числа, принадлежащего ;
2)любое действительное число принадлежит либо , либо .
Сечение Дедекинда во множестве будем обозначать символом , где – нижний класс, а – верхний класс. Поскольку во множестве , являющимся подмножеством , возможны лишь три вида сечений, то во множестве других (новых) видов сечений быть не может. Поэтому логически могут представиться следующие случаи.
1)в есть наибольшее число, в нет наименьшего числа;
2)в нет наибольшего числа, в есть наименьшее число;
3)в нет наибольшего числа, в нет наименьшего числа.
Сечения Дедекинда двух первых видов могут быть построены точно так же, как это было сделано во множестве . Покажем, что третьего вида сечений Дедекинда во множестве не существует. Обозначим множество всех рациональных чисел в через , а множество всех рациональных чисел в через . В результате получим сечение во множестве рациональных чисел . Исследуем это сечение. Могут представиться три случая, когда сечение является сечением первого, второго или третьего видов.
1)Предположим, что – сечение первого вида. Обозначим через наибольшее рациональное число в . Покажем, что в этом случае сечение во множестве есть также сечение первого вида. Предположим противное, что в нет наибольшего действительного числа. Значит найдется такое действительное число из , что . По теореме 2.1 между и найдется рациональное число , так что . Но это невозможно, так как лежит в , а, следовательно, принадлежит , и является наибольшим в . Полученное противоречие вынуждает нас отказаться от предположения, что не является сечением первого вида во множестве .
2)Предположив, что – сечение второго вида во множестве , рассуждениями, аналогичными в 1) установим, что также является сечением второго вида во множестве .
3)Пусть – сечение третьего вида во множестве . По определению 2.3 это есть некоторое иррациональное число w, которое принадлежит либо , либо . Допустим, что принадлежит . Тогда утверждаем, что w будет наибольшим в . Предположим противное, что в найдется действительное число такое, что . По теореме 2.1 между и w найдется рациональное число , такое что . Из этого неравенства вытекают два противоречивых утверждения. С одной стороны, , а, следовательно, принадлежит . С другой стороны, больше пограничного числа а значит принадлежит . Полученное противоречие доказывает, что, если принадлежит , то является наибольшим в , а, следовательно, сечение – есть сечение первого вида. Совершенно аналогично можно показать, что, если принадлежит , то w является наименьшим в , а, значит, – сечение Дедекинда второго вида во множестве .
Итак, подводя итог, приходим к заключению, что во множестве действительных чисел всякое сечение производится действительным числом. Это свойство множества называют полнотой, или непрерывностью. Именно из-за этого свойства множество рациональных чисел расширили до множества .