Числовым множеством будем называть любое множество, элементами которого являются действительные числа. Рассмотрим примеры числовых множеств.
1)Отрезок [a,b]. Это множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству .
2)Интервал (a,b). Это множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству < < b.
3)Полуинтервал (a,b]. Это множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству < .
Определение 2.6. Числовое множество называют ограниченным сверху (снизу), если найдется такое число (число ), что для любого из выполняется неравенство
( ³ )
Число (число ) при этом называют верхней (нижней) гранью множества . В противном случае множество называют неограниченным сверху (снизу).
В символах математической логики условие ограниченности сверху множества будет выглядеть так: .
Если множество ограничено одновременно и сверху, и снизу, то его называют просто ограниченным. В символах математической логики условие ограниченности множества X запишется так: .
Тогда условие неограниченности множества X принимает вид , или .
Легко видеть, что, если множество ограничено сверху числом , то оно будет ограниченным сверху и любым числом, большим, чем . Следовательно, ограниченное сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних граней. Наибольший интерес представляет наименьшая из всех верхних граней. Она называется точной верхней гранью множества. Аналогично, ограниченное снизу числовое множество имеет бесконечно много нижних граней, а наибольшая из них называется точной нижней гранью. Точная верхняя (нижняя) грань множества обозначается символом . Рассмотрим примеры числовых множеств и их границ.
1) . Это ограниченное множество : .
2) . Это ограниченное множество: .
3) . (множество неотрицательных рациональных чисел). Это множество не ограничено сверху, но ограничено снизу, а, следовательно, неограниченное.