ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть - непустое ограниченное сверху множество. Очевидно, что, если в есть наибольшее действительное число, то это число и является точной верхней гранью. Рассмотрим случай, когда в нет наибольшего числа. Разобьем множество всех действительных чисел на два подмножества и так, что к отнесем все верхние грани множества , а к отнесем все остальные действительные числа. Убедимся, что такое разбиение является сечением Дедекинда. В самом деле, оба множества и не пусты: в имеется непустое множество , а в имеется хотя бы одна верхняя грань для , так как ограничено сверху. Любое действительное число из меньше любого действительного числа из . Наконец, любое действительное число лежит либо в , либо в . Значит – сечение Дедекинда в . В силу полноты множества пограничное число между и является либо наибольшим в , либо наименьшим в . Но наибольшего в нет по предположению. Следовательно, является наименьшим числом в , т.е. точной верхней гранью множества .