Пусть имеем два действительных числа и . Рассмотрим множество всевозможных сумм рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из , а также множество всевозможных сумм рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из . Легко видеть, что множество ограничено сверху любой суммой . Следовательно, множество имеет точную верхнюю грань , которую и назовем суммой действительных чисел и . Можно убедиться, что при таком определении сохраняются все свойства операции сложения, имеющие место для рациональных чисел.
Определим теперь произведение двух действительных чисел и . Положим сначала, что и . Рассмотрим множество всевозможных произведений рациональных чисел , где – рациональное число из , – рациональное число из , и множество Q2 всевозможных произведений рациональных чисел , где - рациональное число из , - рациональное число из . Множество ограничено сверху любым произведением . Следовательно, имеет точную верхнюю грань , которую и назовем произведением действительных чисел и , обозначая его символом . Если оба числа и отрицательны, то произведением чисел и назовем такое же число , которое получилось бы в результате умножения двух положительных чисел и . Если , а , то их произведением называют число . Аналогично произведением чисел и в случае назовем число .
Разность действительных чисел и определим как сумму действительных чисел и , где – есть произведение на .
И, наконец, для определения операции деления введем понятие обратного числа для действительного числа . Ограничимся случаем иррационального положительного . Предположим, что определяется сечением во множестве . Обратным для назовем число, обозначаемое , которое определяется сечением ( ), где к отнесем все отрицательные рациональные числа, нуль и все числа вида , где - любое число из . К верхнему классу отнесем все числа вида , где – любое положительное число из . Отношением числа к числу назовем произведение .