Модулем, или абсолютной величиной действительного числа (обозначение ) назовем само число , если оно неотрицательно и число , если отрицательно. Таким образом,
.
Рассмотрим свойства модуля.
1°. .
Это непосредственно следует из определения модуля.
2°. .
Действительно, из определения модуля следует, что для неотрицательного это неравенство имеет вид , что очевидно; для отрицательного имеем , что также очевидно.
3°. Неравенства и равносильны.
Пусть имеет место неравенство . Из определения модуля следует, что это неравенство равносильно системе: , которая равносильна системе . Если эту систему записать двойным неравенством, то получим то, что требовалось: . Теперь установим обратное, что выполнение неравенства влечет выполнение неравенства . В самом деле, запишем данное неравенство в виде системы:
или
Но это и означает, что
.