Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Функция y=?(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых , X, , верно неравенство

?(

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания функции.

 

 

Если производная дифференцируемой функции положительная (отрицательная) внутри некоторого промежутка X, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Точкой максимума функции y=?(x) называется такая точка что в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

Точкой минимума функции y=?(x) называется такая точка , что в некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

Максимумом и минимумом функции называются значения функции в точках (точка максимума) и (точка минимума). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

На рисунке 4.7 , , , – точки экстремумов функции, а m и M – ее наименьшее и наибольшее значения.

Следует заметить, что определенные выше максимум и минимум функции не обязательно являются ее наибольшим и наименьшим значениями на отрезке , в связи с чем они называются локальными максимумами и минимумами. Локальных максимумов и минимумов может быть много, в то время как наибольшее и наименьшее значения функции равны конкретным числам M и m.

 

y

_M

m

0a x₁ x₂ x₃ x₄b x

 

Рис. 4.7