КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Печатается по решению редакционно-издательского

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина»

 

 

Т. С. Онискевич

КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПО ОСНОВАМ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

(ЭКСПРЕСС-КУРС ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ПСИХОЛОГОВ)

 

 

Брест 2010

УДК

ББК

С

 

 

Рецензенты:

Кандидат физико-математических наук, доцент,

зав. кафедрой методик дошкольного образования БрГУ им. А. С. Пушкина

Т. С. Будько

Кандидат физико-математических наук, доцент,

декан факультета довузовской подготовки БрГУ им. А. С. Пушкина

Е. И. Мирская

 

Печатается по решению редакционно-издательского

Совета БрГУ им. А. С. Пушкина

Онискевич, Т.С.

Конспекты лекций по основам высшей математики: экспресс-курс для студентов-психологов / Т. С. Онискевич; Брест. гос. ун-т имени А.С. Пушкина. – Брест: Изд-во БрГУ им. А.С. Пушкина, 2010. – 78 с.

ISBN

Лекционный экспресс-курс содержит необходимый для сдачи экзамена по основам высшей математики материал, адаптированный в соответствии со спецификой гуманитарной специальности «Психология». Удобная форма подачи материала, специально подобранные примеры содействуют самостоятельному усвоению и эффективному повторению программы курса.

Для студентов психологических специальностей университетов.

 

УДК

ББК

 

ISBN© Онискевич Т.С.,2010

© Издательство БрГУ

им. А.С.Пушкина, 2010

Оглавление

 

 

Глава 1

Теория множеств

1.1. Основные понятия……………………………………………. ..5

1.2. Операции над множествами……………………………………7

1.3. Соответствия и отношения……………………………………10

1.4. Элементы теории множеств в анализе психологических явлений………………………………………………………….12

Глава 2

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

2.1. Высказывания и операции над ними…………………………15

2.2. Формулы и законы логики высказываний……………………18

Глава 3

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

3.1. Матрицы. Основные понятия…………………………………21

3.2. Операции над матрицами……………………………………...22

3.3. Определители квадратных матриц и их свойства……………23

3.4. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения ……………………………………………………25

3.5. Решение систем линейных уравнений………………………..27

3.6. Применение элементов линейной алгебры в психологии…...30

Глава 4

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

4.1. Понятие функции………………………………………………..32

4.2. Элементарные функции…………………………………………35

4.3. Предел функции…………………………………………………38

4.4. Непрерывность функций………………………………………..39

4.5. Производная……………………………………………………...41

4.6. Правила дифференцирования…………………………………...42

4.7. Таблица производных……………………………………………44

4.8. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции……44

4.9. Неопределённый интеграл………………………………………48

4.10. Определённый интеграл…………………………………………50

4.11. Использование математического анализа в психологии………53

 

 

Глава 5

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

5.1. Основы комбинаторики……………………………………………54

5.2. Вероятность случайного события…………………………………56

5.3. Действия над событиями……………………………………………….60

5.4. Основные теоремы теории вероятностей…………………………62

5.5. Формула полной вероятности и формула Байеса…………………64

5.6. Формула Бернулли…………………………………………………66

5.7. Формула Пуассона …………………………………………………67

5.8. Локальная формула Муавра – Лапласа …………………………..68

5.9. Интегральная формула Муавра – Лапласа………………………..68

5.10. Случайные величины. Закон распределения случайной величины…………………………………………………………….70

5.11. Функция распределения случайной величины. Ее свойства…….71

5.12. Математическое ожидание и дисперсия дискретной

случайной величины……………………………………………….73

5.13. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения..74

5.14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины…76

5.15. Применение вероятностных методов в психологии……………...77

 

Литература………………………………………………………………...78

Глава 1

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Основные понятия

Множество – понятие неопределяемое, используемое для описания совокупностей математических объектов (чисел, точек, функций и т. д.) Основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, понимаемое как единое целое».

В математике множества обозначаются большими буквами латинского алфавита А, В, С, … Х, У, Z. О предметах, составляющих множество, говорят, что они являются элементами множества. Элементы множеств обозначают малыми буквами латинского алфавита: а, b, c, …х, y, z.

Если элемент а принадлежит множеству А, то это записывают: а А.

Множества могут быть конечными и бесконечными; конечное множество состоит из конечного числа элементов, бесконечное – из бесконечного их числа.

Пример:

 

Бесконечные множества – числовые множества:

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

I – множество иррациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

 

Множества, не содержащие ни одного элемента, называются пустыми множествами: ?.

Задать множество – значит указать, какие элементы принадлежат множеству, а какие не принадлежат.

Задать множество можно следующими способами:

1) перечислением всех элементов, из которых состоит множество. Например, А = {a,b,c,d,f}.

2) указаниемхарактеристического свойства, т.е. свойства, которым обладают только элементы данного множества и ни один элемент из другого множества не обладает этим свойством. Пример: С – множество натуральных чисел, не превосходящих десяти, С = {x/ х N, х <10} или

С = {1,3,4,5,6,7,8,9}.

3) перечислением первых элементов множества (перечисление продолжается до тех пор, пока не выявится закономерность получения последующих элементов). Пример: Х = {1,3,5,7,9,…}, У = {2,4,8,16, ...}.

4) в виде промежутков на числовой прямой (используется только для множеств, состоящих из действительных чисел). Примеры:

(2; 5] = {x / x R , 2 < x 5} (-∞; 3] = {x / x R, x 3}

(2; 5] (-∞; 3]

4. 5 R 3 R

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. В А.

Пример: А = {a,b,c}. Подмножествами множества А будут: собственные подмножества: {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}; несобственные подмножества: {a,b,c}, ?.

Два множества А и В называется равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество, в которое включаются все рассматриваемые в данный момент множества, называется универсальнымU. На рисунке его принято изображать в виде прямоугольника. Например, при решении задач с действительными числами универсальным будет множество R, а при рассмотрении множества студентов некоторой группы универсальным будет множество студентов университета.

Наглядно можно изобразить множества с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна).

 

Рис. 1.3 Рис. 1.4 Рис. 1.5 Рис. 1.6

На рис. 1.3 изображены множества А и В, находящиеся в отношении включения (В А), на рис. 1.4 – в отношении равенства (А = В), на рис. 1.5 – в отношении пересечения, рис. 1.6 показывает универсальное множество U и его подмножества А и B.

 

1.2. Операции над множествами

Пересечением двух множеств А и В называется множество А∩В, которое состоит из элементов, принадлежащих множествам А и В одновременно.

Символическая запись определения: А∩В = {x/x A и x B}.

Объединением двух множеств А и В называется множество АB, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись определения: АB = {x/x A или x B}.

Разностью множеств А и В называется множество А\В, которое состоит из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

Символическая запись определения: А\ В = {x/x A и x B}

Дополнением множества В до множества А называется множество В'_А, которое состоит из элементов множества А, не принадлежащих множеству В, при условии, что множество В является подмножеством множества А.

Символическая запись определения: В'_А = {x/x A, x B, B A}

Примеры:

 

1. Если А = {1,2,3,4,5}, B = {2,4,6,8}, то A∩B = {2,4}, АB={1,2,3,4,5,6,8}, А\ В={1,3,5}, В\А ={6,8}.

2. Если Х – множество любителей психологи, У – множество любителей математики, то А∩В – множество людей, любящих и математику, и психологию; АB – множество людей, которые любят хотя бы одну из наук: либо математику, либо психологию (либо обе науки одновременно).

 

Графическая иллюстрация данных выше определений (рис. 1.7 – 1.11):

 

AB AB

Рис. 1.7 Рис. 1.8 Рис. 1.9

Рис. 1.10 Рис. 1.11

Свойства операций объединения и пересечения множеств:

1. Коммутативность А∩В= В∩А, АB= BА.

2. Ассоциативность (А∩В)∩С= А∩(В∩С), (АB)С= А(BС).

3. Дистрибутивность А∩(ВС)=(А∩В)(А∩С), А(B∩С)= (АB)∩(АС).

4. Законы де Моргана (А∩В)'= А'B' , (АB)'= А'∩В'.

5. А∩А=А, АА=А.

6. А∩U=А, А∩?= ?.

7. АU=U, А?=А.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество А?В, состоящее из всех упорядоченных пар вида (х, у), где элемент х взят из множества А, а элемент у взят из множества В.

Символическая запись определения А?В = {(x; у) | X x , y Y}.

Если два множества, участвующие в декартовом произведении, равны, то такое декартово произведение называется декартовым квадратом множества.

 

Пример:

 

Если Х = {1,2,3}; У = {5, 6}, тогда X?Y = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}, Х?Х = Х² = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.

Декартовым произведением n множеств А₁, А₂, … А_n называется множество всевозможных кортежей длины n, в которых первая компонента (координата) принадлежит множеству А₁, вторая компонента – множеству А₂, и т.д., n-я – множеству A_n . Кортеж длиныn – это упорядоченная последовательность n элементов, среди которых могут быть одинаковые. Кортеж длины 2 – это упорядоченная пара, кортеж длины 3 – упорядоченная тройка и т. д. Элементы кортежа называются его компонентами или координатами. Два кортежа называются равными, если их длины равны и соответствующие координаты совпадают.

Символическая запись определения декартова произведения n множеств:

А₁? А₂ ?… ?A_n = {(х₁, х₂, … х_n) | х₁ A₁, х₂ A₂,… ,х_n A_n}.

Способы задания декартова произведения двух множеств:

1. С помощью перечисления упорядоченных пар элементов – пример рассмотрен выше.

2. С помощью графа, на котором два элемента, соединенные стрелкой, обозначают упорядоченную пару:

Х У

Рис. 1.12

 

3. С помощью графика на координатной плоскости:

 

 

Рис. 1.13

Количество элементов в объединении n(АB) и декартовом произведении n(А?В) двух множеств А и В вычисляется соответственно по следующим формулам:

n(АB)=n(A)+n(B)-n (А∩В);

n(А?В)= n(A)·n(B).

В рассмотренном выше примере п(X?Y)=п(Х)·п(У)=3·2=6.

Соответствия и отношения

Множество Х называют областью отправления данного соответствия, а множество У – его областью прибытия. Если аХ, то образом этого элемента называется множество R(а) всех элементов…  

Элементы теории множеств в анализе психологических явлений

В оценках общественного мнения часто присутствуют три множества: множество S социальных общностей, мнения которых сравниваются между собой;… Психологическая интерпретация различных явлений необходима в связи с тем, что… Все психические проявления могут и должны исследоваться сначала в качественном, а затем и в количественном отношении.…

Табл. 1.1 Интерпретация возможных типов интеллекта по тестам Д. Векслера

ОВ В ХН Н СН ПУ УД

В	ОВ	ОВ*В	ОВ*ХН	ОВ*Н
В	В*ОВ	В	В*ХН	В*Н	В*СН
Н	ХН*ОВ	ХН*В	ХН	ХН*Н	ХН*СН
Н	Н*ОВ	Н*В	Н*ХН	Н	Н*СН	Н*ПУ
Н		СН*В	СН*ХН	СН*Н	СН	СН*ПУ	СН*УД
ПУ				ПУ*Н	ПУ*СН	ПУ	ПУ*УД
УД					УД*СН	Д*ПУ	УД

 

Условные обозначения, использованные в таблице 1.1 – уровни интеллекта: ОВ – очень высокий, В – высокий, ХН – хорошая норма, Н – норма, СН – сниженная норма, ПУ – пограничный уровень, УД – умственный дефект.

Теория множеств находит свое применение и в такой сфере психологии, как психодиагностика. В психодиагностике существуют различные теории личности, в которых модели личности могут быть представлены формализованно в виде множеств свойств и отношений между ними. В этом случае личность – это множество внешних особенностей поведения или деятельности человека, за которыми скрываются внутренние психические явления, со множеством отношений между ними: =, где и в различных психологических концепциях интерпретируются по-разному [2, с. 193].

 

 

Глава 2

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

Высказывания и операции над ними

Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Обозначаются высказывания большими буквами латинского алфавита: А, В, С, … X, Y, Z. Высказывания бывают истинными (и) или ложными (л).

Предложение с одной или несколькими переменными, которое преобразуется в высказывание при подстановке вместо всех переменных их значений, называется предикатом.

 

Примеры:

 

1. “Студент х изучает психологию” – предикат; “Студент 15 группы изучают психологию” – высказывание.

2. Высказывание А: “Человек – существо мыслящее” – и; высказывание В: “Насекомое – существо мыслящее” – л.

 

Высказывание, представляющее собой одно утверждение (истинное или ложное), называется элементарным (простым) высказыванием.

Высказывание, образованное из элементарных, называется составным или сложным.

Образование составного высказывания из элементарных называется логической операцией.

Существуют следующие операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Отрицанием высказывания А называется высказывание (¬А) – “не А”, которое является истинным тогда, когда высказывание А ложно, а ложным – тогда, когда А истинно.

Набор всевозможных значений истинности для А и отражает таблица 2.1, называемая таблицей истинности.

 

Таблица 2.1

A
И	Л	И
Л	И	Л

 

Отрицание любого высказывания можно построить с помощью слов:

“неверно, что”. Поскольку А – высказывание, то можно построить его отрицание – двойное отрицание. Очевидно, что А=(см. табл. 2.1).

Конъюнкцией двух высказываний А и В называется составное высказывание AB (А&В) – “А и В”, которое истинно в том, и только в том случае, когда оба высказывания А и В истинны. Набор всевозможных значений истинности конъюнкции показан в таблице 2.2:

 

Таблица 2.2

A	B	AB
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

 

Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется составное высказывание AvB – “А или В” , которое является истинным тогда, когда хотя бы одно из высказываний А или В истинно. Таблица истинности дизъюнкции – табл. 2.3

 

Таблица 2.3

A	B	AvB
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

 

 

Импликацией двух высказываний А и В называют составное высказывание АВ (А→В) “если А, то В”, которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание, т.е. А, истинно, а В ложно. Таблица истинности импликации – табл. 2.4

 

Таблица 2.4

A	B	AB
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

 

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется составное высказывание AóB (А↔В) – “А тогда и только тогда, когда В”, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо истинны, либо ложны. Таблица истинности эквиваленции – табл. 2.5

 

Таблица 2.5

A	B	A⇔B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Следует сделать оговорку, что логические операции не учитывают смысл высказываний; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными и ложными.

Примеры:

 

1. Высказывание А: “Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина был основан в 1945 году”; высказывание : “Неверно, что Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина был основан в 1945 году ”.

2. Высказывание В: “Треугольник АВС прямоугольный”; высказывание : “Неверно, что треугольник АВС прмоугольный”, т.е. “Треугольник АВС – тупоугольный или остроугольный”.

3. Высказывание А: “Студент добросовестно готовился к экзамену”, высказывание В: “Студент сдал экзамен блестяще”, высказывание AB: “Студент добросовестно готовился к экзамену и сдал его блестяще”.

4. AB: «Число 30 двузначное и четное ”.

5. Высказывание А: “Фестиваль “Славянский базар” проводится в Витебске”, высказывание В: “Брест – самый западный город Беларуси”, Высказывание AB: “ Славянский базар” проводится в Витебске или Брест – самый западный город Беларуси”.

6. AB: “13≤23”.

7. АB: “Если число 30 двузначное, то оно четное ”.

8. Высказывание А: “Треугольник АВС является прямоугольным”, высказывание В: “Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон”, высказывание AóB: “Треугольник АВС является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон”.

9. AóB: “Стать хорошим психологом можно тогда и только тогда, когда овладеешь математическими методами”.

 

 

Формулы и законы логики высказываний

Для того, чтобы из из высказывания получить формулу, надо: 1) выделить все элементарные высказывания и логические операции, образующие… 2) заменить их соответствующими буквами и символами;

Глава 3

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Матрицы. Основные понятия

Матрицей размера т?п называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов.

Элементами матрицы называются числа, составляющие матрицу.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, А, В, С,.. или иначе А = (а), В=(b)…. Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной ин­дексацией: а_ij, где i — номер строки, j — номер столбца. Матрица размера т?п имеет вид:

А=

Равными называются матрицы А = (а)и В=(b) одинакового раз­мера, если они совпадают поэлементно, т.е. а_ij =b_ij для любых i = 1,2,..., т; j = 1,2,..., п.

 

При­меры:

__________________________________________________________________________________

1) Для матрицы A =

 

элементами являются: а₁₁ = 0, а₁₂ = 1, а₁₃ = -3, a₂₁ = 1, а₂₂ = 2, а₂₃ = -2.

2) Для матриц С и В

C = , B =

Стак как элементы а₁₂ = 2и b₁₂ =-1 не совпадают.

__________________________________________________________________________________________

Матрицей-строкой называется матрица, состоящая из одной строки.

Матрицей-столбцом называется матрица, состоящая из од­ного столбца.

Квадратной матрицей порядка п называется матрица, у которой число строк рав­но числу столбцов и равно п .

Диагональной называется матрица, у которой все недиаго­нальные элементы равны 0.

Главную диагональ квадратной матрицы порядка п образуют элементы a₁₁, a₂₂ , ... , a_nn.

A = – диагональная матрица третьего порядка.

Единичной называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, остальные нули. Например,

E = – единичная матрица третьего порядка. E.

 

 

Операции над матрицами

 

1. Умножение матрицы на число

 

Произведением матрицы А на число λ называется матрица В =λА, элементы которой b_ij =λа_ij ,i = 1,2, …, m; j = 1, 2, …, m;

Пример:

2⋅ = = .

 

 

2. Сложение матриц

 

Суммой двух матриц A и В одинакового размера т?п назы­вается

матрица С = А+В, элементы которой c_ij = a_ij + b_ij для i = 1, 2,…,m;j= 1,

2,…,п (т.е. матрицы складываются поэлементно).

Пример:

+ = = .

3. Произведение матриц

 

Произведение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Произведением матрицы А размера m?n и матрицы В размера n?k называется такая матрица С размера m?k, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т.е. c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_inb_nj.

 

Пример:

Пусть

А=, В=.

Тогда

А·В= =

В·А= =

 

Как видно из примера, не всегда А·В = В·А.

При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, т.е. АЕ = ЕА = А для любой квадратной матрицы А того же порядка, что и матрица Е.

Пример:

 

⋅ = = .

 

 

3.3. Определители квадратных матриц и их свойства

 

Для каждой квадратной матрицы А вводится число, назы­ваемое ее

определителем.

Для матрицы первого порядка определитель равен ее эле­менту а₁₁.

Для матрицы второго порядка A = ее определитель вычисляется следующим образом:

	|А| = а11 а22 - а21 а12

_(3.1)

Пример:

= 7⋅2 - 3⋅(-1) = 14 + 3 = 17.

 

Для матрицы третьего порядка A = определитель вычисляется по формуле:

() (3.2)

Знаки, с которыми слагаемые входят в формулу (3.2), легко за­помнить, пользуясь схемой (рис. 3.1), которая называется правилом треугольника или правилом Саррюса (для знака «плюс» основа­ния равнобедренных треугольников параллельны главной диагона­ли, для знака «минус» — параллельны побочной диагонали).

 

а₁₁ а₁₂ а₁₃

+ а ₂₁ а₂₂ а₂₃ –

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Рис. 3.1

Пример:

Для матрицы A = найдём пользуясь правилом Саррюса:

|А| = (-1) · 4 · 5 + 2 · (-2) · 6 + 0 · (-3) · 3 – 6· 4 · 3 – 0 · 2 · 5 – (-3) · (-2)· (-1) =

= -20 –24+ 0 – 72– 0+6 = -110.

 

 

_______________________________________________________

Свойства определителей:

 

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из
одних нулей, то ее определитель равен нулю.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число, то ее определитель умножится на это число.

3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее оп­ределитель меняет знак на противоположный.

4. Если матрица содержит две одинаковые строки (столб­ца), то ее определитель равен нулю.

5. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропор­циональны, то ее определитель равен нулю.

6. Определитель матрицы не изменится, если к элемен-
там какой-либо строки (столбца) прибавить элементы
другой строки (столбца), умноженные на одно и то же
число.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц
равен произведению их определителей: |C|= |А|·|В|, где
С = А·В.

3.4. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения

 

Системой линейных уравнений с п неизвестными х₁,... х_п называется

система

 

 

 

(3.3)

 

где a_ij, (i =1,2,… m; j = 1,2,… n) — произвольные числа, называемые коэффициентами при неизвестных, b_i , (i =1,2,… m) – свобод­ными членами уравнений.

Решением системы (3.3) называется такая совокупность п чисел (x₁, х₂,… x_n), что при подстановке их в систему каждое уравнение системы обращается в тождество.

Совместной называется система уравнений, имеющая хотя бы одно решение.

Несовместной называется система уравнений, не имеющая решений.

Определенной называется совместная система уравнений, имеющая единственное решение.

Неопределенной называется совместная система уравнений, имеющая более одного решения.

 

Пример:

__________________________________________________________________________________

Система уравнений

 

совместная и определенная, так как имеет единственное реше­ние (1,1);

система

 

 

 

несовместная; а система уравнений

множество решений (х₁ = с, x₂ = 3 – 2с, где с — любое число).

________________________________________________________________

Равносильными или эквивалентными называются систе­мы уравнений, имеющие одно и то же множество решений.

 

Элементарными преобразованиями системы (3.3) называются:

1) умножение уравнения системы на число λ≠0;

2) умножение уравнения системы на любое число λ и прибавление полученного произведения к другому уравнению системы;

3) вычеркивание нулевого уравнения (0x₁ +0x₂ + … +0x_n = 0) из системы;

4) перестановка двух уравнений системы.

Справедлива следующая теорема:

Элементарные преобразования системы уравнений преобразуют систему в ей эквивалентную.

 

 

3.5. Решение систем линейных уравнений

1. Правило Крамера

Предположим, что матрица системы А является квадратной, а ее определитель Δ= |A|≠0. Тогда решение системы является единственным и находится по формулам Крамера:

= , i = 1,2, …, n. (3.4)

где Δ_i — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример:

________________________________________________________________

Решим систему уравнений методом Крамера

 

Здесь Δ = |А| = 2,

 

2 0 1 1 2 1 1 0 2

Δ₁= 0 1 -1 =2 , Δ₂ = 0 0 -1 = 2 , Δ₃ = 0 1 0 = 2 .

4 2 1 1 4 1 1 2 4

По формулам (3.4) имеем: х₁=1; х₂=1; х₃=1.

________________________________________________________________

2. Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в том, что элементар­ные преобразования совершают не над уравнениями системы (3.3), а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для системы (3.3) запишем расширенную матрицу, послед­ний столбец которой состоит из свободных членов:

С помощью элементарных преобразований строк приведем расширенную матрицу к такому виду, чтобы в последней строке матрицы все члены, кроме п-го, были равны нулю. Система линейных уравнений, соответствующая этой матрице, будет эквивалентна исходной. Затем из последнего уравнения системы, соответствующей преобразованной матрице, находим х_п. Все остальные решения могут быть найдены последовательно, начиная с по­следнего уравнения.

Проиллюстрируем метод Гаусса на приме­рах с различными видами систем.

Примеры:

__________________________________________________________________________________

1) Решить систему уравнений:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов (вертикальной чертой отделён столбец из свободных членов). Затем преобразуем её, умножив первую строку поочерёдно на (-1), (-4), (-2) и прибавив соответственно ко второй, третьей, четвёртой строкам. В результате получим из первоначальной матрицы преобразованную:

Второй матрице соответствует система уравнений

Решая последовательно все уравнения системы, начиная с последнего, получим:

, 20

20=8 – 3, 20

 

2=8+3– 4, 2

– 4·3·, .

Ответ: , ,

2) Решить систему уравнений

Первую строку матрицы последовательно умножили на (-2), (-5), (-3) и сложили соответственно со второй, третьей и четвертой строками. На втором шаге из третьей строки вычли вторую. В результате получаем, что

система несовместна, т.к. уравнение, соответствующее третьей строке матрицы:

0

не имеет решения.

3) Решить систему уравнений

 

;

;

,

где х₄ – свободное неизвестное, оно может принимать любые действительные значения, т.е. система имеет бесконечное множество решений.

_______________________________________________________________

 

Применение элементов линейной алгебры в психологии

Например, для психодиагностики социальных общностей малого объема (из нескольких человек) – так называемых «малых групп», социопсихолог Дж. Морено… Социоматрица – это квадратная помеченная матрица, в строках и столбцах которой…  

Глава 4

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Понятие функции

Функция – это соответствие (закон), согласно которому каждому значению переменной х из некоторого множества Х отвечает вполне определенное число у.… Функции можно задавать: а) аналитически с помощью формул;

Элементарные функции

Элементарными функциями называются функции, которые можно получить из основных элементарных функций (перечисленных в таблице) с помощью… Примеры: __________________________________________________________________________________

Предел функции

Примеры: … ü если вы читаете литературу со скоростью 60 страниц в час, то при стремлении времени чтения к двум часам числе…

Непрерывность функций.

Пусть функция f(х) определена при некотором значении x0 и в некотором интервале с центром в x0 (т.е. в окрестности х0). Очевидно, что при х=х0 функция имеет значение у = f(х0), а при х=х0+∆х значение… ∆у= f(х0+∆х)- f(х0),

Производная

Пусть функция y=?(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Тогда приращению ∆x независимой переменной x соответствует приращение функции ∆y=?(x+∆x)-?(x). Однако более важным для исследования свойств функции является не само приращение ∆y, а относительное приращение .

Производной функции y=?(x) в точке x называется предел относительного приращения при ∆x→0. Этот предел обозначается

Дифференцируемой называется функция, которая имеет производную.

Дифференцированием называется операция нахождения производной.

 

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график некоторой функции (рис.4.6). Касательная прямая к графику в точке (x,?(x))образует с осью Оx угол α, для которого

 

y

y=?(x)

 

^α

0 х х

 

Рис. 4.6

 

Физический смысл производной

= есть мгновенная скорость в точке t. Если же скорость в точке t, то есть среднее ускорение на участке времени ∆t, а

Правила дифференцирования

       

Таблица производных

 

Все основные элементарные функции являются дифференцируемыми и имеют производные, приведенные в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Функция y	Производная	Функция y	Производная
c
x
u+υ
uυ
cu
		tg x
		arccos x
		arctg x
		g(f(x))

 

 

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

?( Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания функции.  

Необходимое условие экстремума

Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема. Так, например, функция y = имеет экстремум (минимум) в точке x = 0, но… Это условие не является достаточным, что показывает пример, приведенный на… a б в

Достаточные условия экстремума

– + + –    

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке , необходимо: 1. Найти критические точки на этом отрезке. 2. Подсчитать значения в этих точках и на концах отрезка.

Таблица основных интегралов

1.

2.

3. =

4.

5.

6.

7.

8.

9. + C.

10. arctg+ C.

11.

12.

 

Примеры:

_________________________________________________________________________________

1.

2.

3.

___________________________________________________________

4.10. Определённый интеграл

 

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьём отрезок [a,b] на n частей точками На каждом из полученных отрезков [(i=1,2,…, n) возьмем некоторую точку

Интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [a,b] называется сумма

 

где

наибольшую из длин

Определённым интегралом функции y = f(x) на отрезке [a,b], который обозначается

называется предел интегральных сумм

(*)

 

Таким образом,

Интегрируемой называется функция, для которой существует предел, обозначенный (*). Из условия Числа a и b называются пределами интегрирования. Функция f(x) носит название подынтегральной функции.

 

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то определённый интеграл

Пример:

______________________________________________________________

Пусть y=A – постоянная функция на отрезке [a,b]. Тогда интегральная сумма имеет вид:

Она зависит от способа разбиения отрезка на части и

Полученное число равно площади заштрихованного прямоугольника на рис. 4.10.

у

 

 

A

 

 

0 a b x

 

Рис 4.10.

________________________________________________________________

Свойства определённого интеграла

1. где - произвольное число.

 

2.

 

3. где a<c<b.

 

4. а>в

 

5. Если для всех x

 

6. Для производная определённого интеграла

равна значению подынтегральной функции в точке

 

7. Теорема о среднем: если функция [a, b], то существует точка c

8.Оценка модуля интеграла: если [a,b], то

9. Формула Ньютона – Лейбница (связывает неопределённый и определённый интегралы): если функция непрерывна на отрезке [a, b], а функция - какая-либо её первообразная ( т.е.

 

Пример:

__________________________________________________________________________________

________________________________________________________________

 

Использование математического анализа в психологии

Понятие функции и производное от него понятие функциональной схемы и функционирования тех или иных психических процессов, психики в целом, широко… Линейная функция широко применяется для построения психометрических шкал.… Известный психофизический закон Г.Т. Фехнера R=a·lnS+b выражается линейной зависимостью ощущения R от натурального…

Глава 5

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основы комбинаторики

Упорядоченным называется множество, в котором учитывается порядок следования элементов. Так, например, множества (а, в, с) и (а, с, в) есть различные упорядоченные множества.

Кортежом длины k называется упорядоченная последовательность, состоящая из k элементов, в которой известно, какой элемент за каким следует и сколько раз повторяется (см. п.1.3). Основное отличие кортежа от упорядоченного множества состоит в том, что элементы кортежа могут повторяться.

Сформулируем основные правила комбинаторики.

 

Правило суммы

Пусть из множества Х элемент а₁ можно выбрать n₁ способа­ми, элемент а₂ — другими п₂ способами и т.д., элемент а_k – п_k способами, отличными от предыдущих. Тогда выбор одного из элементов a₁, или а₂, или и т.д., а_k можно произвести

n₁ + n₂ + … + n_k

способами.

Правило произведения

n = n1 . n2 . … . nk способами. Пример:___________________________________________________________

Основные комбинации и формулы для их подсчета

Пусть некоторое множество Х состоит из п элементов. Будем переставлять элементы этого множества всевозможными способами, оставляя неизменным их…   Рп=п!=1·2·3·…·(п-1)·п,

Вероятность случайного события

Пространством элементарных событий называют множество Ω взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий результат… Событием называется исход испытания. Это понятие явля­ется первичным в теории… Среди событий отличают достоверное и невозможное собы­тия. Достоверное событие — это такое событие Ω, которое…

Классическое определение вероятности

Классической схемой, или схемой случаев, называется ис­пытание, при котором число элементарных исходов конечно, и все из них равновозможны.

Случай ω называется благоприятным некоторому событию А, если его появление влечет наступление со­бытия А (т.е. ω входит в число элементов, составляющих А). Например, при бросании игральной кости возможны шесть случаев, при этом событию А – появлению нечетного числа очков – благоприятны лишь три случая: выпадение 1, 3, 5 и неблагоприятны остальные три.

Классической вероятностью события А называется отно­шение числа т случаев, благоприятных со­бытию А, к числу п всех случаев:

P(A)=.
Из определения следуют свойства вероятности:

1. Значение вероятности заключено между нулем и единицей:

0 < Р(А) < 1;

2. Вероятность невозможного события равна нулю:

Р(?) = 0;

3. Вероятность достоверного события равна единице:

P(Ω) = 1.

Пусть пространство Ω состоит из п элементарных событий ω₁, ω₂, . . . ω_n. Тогда для каждого ω_i благоприятным исходом будет только само ω_i и для него т = 1. Поэтому

P (ω_i) = = .

Таким образом, если в классической схеме пространство Ω состоит из п элементарных равновозможных событий, то вероят­ность каждого из них равна 1/ п.

Примеры:

_______________________________________________________________________ __

1. В опыте с бросанием игральной кости число всех исходов п равно 6 и все они равновозможны. Пусть событие А означает по­явление нечетного числа. Тогда для этого события благоприятными исходами будут появления чисел 1, 3, 5. Их количество т рав­но 3. Поэтому вероятность события А равна Р(А)=== .

2. В книге 250 страниц. Какова вероятность того, что мы откроем книгу на странице с номером, кратным 10?

Пусть событие А: «Номер открытой страницы есть число, кратное 10».Согласно классическому определению вероятности, Р(А)=, где п — число всех возможных случаев, т — число случаев, благоприятных событию. Число п всех равновозможных случаев, образующих полную группу, равно 250. Найдем число случаев, благоприятных событию, т.е. число страниц с номером, кратным 10. Его можно вычислить, пользуясь тем, что номер нужной страницы имеет вид 10m , где m – натуральное число, причем 0≤ 10m ≤250 . Откуда находим m ≤=25. Подставив полученные числа в формулу классического определения вероятности, получим:

Р(А)===0,1.

_____________________________________________________________________

Статистическое определение вероятности

Пусть было проведено п испытаний, в каждом из которых могло появиться некоторое событие А. Появление события А было зафиксировано т раз. Вероятность… Р(А) ≈ . Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших п отношение т/п, называемое остается примерно…

Действия над событиями

События А и В называют равными если они состоят из одних и тех же элементарных событий, т.е. в данном опыте могут появиться или не появиться вместе… Суммой (объединением) событий А и B называется такое событие С = А + В (АВ),… Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоя­щее в совместном наступлении события А и…

Основные теоремы теории вероятностей

Теоремы сложения

(*) ü Вероятность суммы совместных событий A и B равна сумме их вероятностей… (**)

Условная вероятность и теоремы умножения

Условная вероятность Р(А/B) определяется формулой (при Р(В)>0) P(A/B)= . Пример:

Формула полной вероятности и формула Байеса

Hi . Нj = ? при i ≠ j и H1 +H2 + . . . + Нn = Ω. Такие события называются гипотезами. Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и его дополнение Ā. По теореме…

Формула Бернулли

Пусть X – число появлений события А в n испытаниях Бернулли. Тогда вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно… Пример:

Случайные величины. Закон распределения случайной величины

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать значения из некоторого бесконечного или конечного промежутка, т.е. возможные… Случайные величины обозначаются большими буквами X, Y, Z, а их возможные… Каждое значение дискретной случайной величины появляется с некоторой вероятностью. Законом распределения случайной…

Функция распределения случайной величины. Ее свойства

  Другой формой закона распределения случайной величины является функция… F(x) = Р(Х)

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

   

Непрерывные случайные величины. Плотность распределения

Непрерывной называется случайная величина X, если ее функция распределения непрерывна. Распределением непрерывной случайной величины называется совокупность… Распределение непрерывной случайной величины однозначно определяется ее функцией распределения , так как

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

  а дисперсия – формулой

Применение вероятностных методов в психологии

Чаще всего психология имеет дело со случайными величинами. Психические явления следует считать случайными. Вариативность, случайная или закономерная… В психологии труда используется оценка времени реакции водителей. Время… При верификации гипотез составляются матрицы условных распределений и тех ошибок, которые совершает испытуемый. При…