Формула полной вероятности и формула Байеса

Рассмотрим п попарно несовместных событий H₁, H₂, . . . , H_n. Они образуют полную группу событий, если они попарно несовместны, а их сумма является достовер­ным событием, т.е.

H_i ^. Нj = ? при i ≠ j и H₁ +H₂ + . . . + Н_n = Ω.

Такие события называются гипотезами.

Простейшим примером полной группы событий является произвольное событие А и его дополнение Ā. По теореме сложе­ния вероятностей, для полной группы событий справедливо ра­венство

Р(Н₁) + Р(Н₂) + . . .+ Р(Н_п) =1.

Примеры:

__________________________ _____________________________

1. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Рассмотрим события H₁ = {2, 4, 6, 8, 10}, H₂ = {1, 3}, H₃ = {5, 7, 9}. Они попарно несовместны, а их сумма является дос­товерным событием Ω. Значит, Н₁, H₂, H₃ составляют полную группу событий. Для них Р(Н₁) = 5/10, Р(H₂) = 2/10, Р(Н₃) = 3/10, т.е. сумма их вероятностей равна 1.

2. В лесу растут деревья, среди которых 60 % берез, 10 % елей, и 30 % сосен. [3, c. 16]. Случайным образом выбира­ется для замера одно из деревьев. Обозначим гипотезы: Н₁ – «выбранное дерево – береза», H₂ – «выбранное дерево – ель», H₃ – «выбранное дере­во – сосна». Тогда события H₁, H₂, H₃ – попарно несовместны, Р(Н₁) = 0,6, Р(Н₂) = 0,1, Р(Н₃) = 0,3. Значит, гипотезы H₁, H₂, H₃ составляют полную группу событий. Сумма их вероятностей равна 1.

_______________________________________________________________________________

Пусть события H₁, H₂, . . ., Н_п образуют полную группу собы­тий. Тогда для любого события А имеет место формула полной вероятности:

Пример:

_______________________________________________________________________

Рассмотрим предыдущий пример 2. Пусть при замере диаметра деревьев он оказался больше 15 см для 30 % берез, 40 % елей и 70 % сосен. Введем событие А – «диаметр случайно вы­бранного дерева больше 15 см». Найдем вероятность этого собы­тия. По условию примера, условные вероятности события А рав­ны: Р(А/H₁) = 0,3, P(А/H₂) = 0,4, Р (А/H₃) = 0,7. Тогда по формуле полной вероятности имеем:

Р(А) = P(H₁)P (А/H₁) + Р(Н₂)Р(А/H₂) + Р(Н₃)Р(А/H₃) = 0,6 ^. 0,3 + 0,1 ^. 0,4 + 0,3 ^. 0,7 = 0,43.

___________________________________________________________________

В формулу полной вероятности входят вероятности Р(Н₁), Р(Н₂), . . ., Р(Н_n), которые называются априорными. Это вероятности гипотез Н_i , вычисленные до опыта (a priori). Если событие А наступило, то эти вероятности изменяются. Это будут апостериорные условные вероятности, вычисленные после опыта (a posteriori) P(H₁/A), P_A(H₂/A), . . . , P_A(H_n/A). Они могут быть найдены по формуле Байеса:

Пример:___________________________________________________________________________

Пусть в условиях предыдущего примерадиаметр случайно выбранного дерева оказался больше на 15 см, т.е. событие А наступило. Найти вероятность того, что измеренное дерево – береза. По формуле Байеса имеем:

= = 0,42.

______________________________________________________________