Формула Бернулли
Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Пусть проводятся n независимых опытов, в результате которых может появиться событие A с вероятностью p и не появиться с вероятностью q, причем p+q = 1. Такая схема называется схемой Бернулли.
Пусть X – число появлений события А в n испытаниях Бернулли. Тогда вероятность того, что в серии из п независимых испытаний событие А появится ровно 
раз (Х=k) вычисляется по формуле Бернулли:
Пример:
_________________________________________________________ _
Вероятность попадания в мишень для конкретного стрелка равна 0,7. Какова вероятность того, что из 10 выстрелов будет 4 попадания в мишень?
Воспользуемся формулой Бернулли
при k = 4, n = 10, p = 0,7. Искомая вероятность равна 
= 0,0367.
________________________________________________________________
|
Пример:
________________________________________________________ ___
Всхожесть семян некоторого растения имеет вероятность 0,8. Найти наиболее вероятное число проросших семян из 7 посеянных.
По формуле 8 ∙ 0,8-1
, поэтому 
= 6.
______________________________________________________________
5.7. Формула Пуассона
Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний n велико, вероятность p события A в одном испытании мала, а произведение λ = np не превосходит 20, то вероятность 
(m) того, что событие A появится ровно в m испытаниях, находится по приближенной формуле Пуассона:
Значения 
имеются в таблицах значений функции Пуассона.
Пример:
______________________________________________________ __
В ходе проверки случайным образом отбирается 10 счетов. Найти вероятность того, что обнаружится один счет с ошибкой, если в среднем 3% счетов содержат ошибки.
Для решения задачи используем формулу Пуассона, в которой n = 10, p=0,03, λ = np = 0,3. Имеем
По таблицам значений функции Пуассона находим 0,2223.
5.8. Локальная формула Муавра – Лапласа
Если число испытаний n достаточно велико, то вероятность появления события A ровно m раз в схеме из n испытаний Бернулли можно вычислять по приближенной формуле Муавра – Лапласа:
где
Причем 
– малая функция Лапласа (функция Гаусса), значения которой имеются в соответствующих таблицах.
Пример: _________________________________________________________ _
Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 70 грибов белых будет 20?
По формуле Муавра – Лапласа при n=70, m=20 имеем:
По таблицам определяем значение Тогда
.
______________________________________________________________
5.9. Интегральная формула Муавра – Лапласа
Для того, чтобы определить вероятность попадания числа m (появления события A в схеме Бернулли при большом числе испытаний n) в заданный промежуток [а,в]: 
, можно использовать интегральную формулу Муавра – Лапласа:
| |
где
– функция Лапласа, значения которой находятся по таблицам.
Для относительной частоты (частости) m/n появления события A в n испытаниях Бернулли справедлива приближенная формула
Для числа m появлений события A справедлива приближенная формула
Примеры:
______________________________________________________
1. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью q = 0,25. Найти вероятность того, что количество спелых арбузов будет находиться в пределах от 560 до 600.
Из условия задачи имеем n=768 испытаний Бернулли с вероятностью найти зрелый арбуз, равной р=0,75. Если m – число удачных выборов, то требуется найти вероятность 
, где a = 560, b = 600.
Поскольку
то по интегральной формуле Муавра – Лапласа получим:
2. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что относительная частота выпадения герба отличается от 0,5 по модулю не более чем на 
?
По формуле 
, в которой , имеем:
По таблицам значений функции Лапласа находим, что
Откуда выражаем п и, подставляя p=0,5; q=0,5, получим:
________________________________________________________________