Логической формулой, или формулой логики высказываний называется предложение, составленное из элементарных (простых) высказываний (А, В, С, … X, Y, Z), знаков логических операций (¬, , , , ó) и скобок.
Для того, чтобы из из высказывания получить формулу, надо:
1) выделить все элементарные высказывания и логические операции, образующие данное составное высказывание;
2) заменить их соответствующими буквами и символами;
3) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.
Пример:
Дано предложение: “Если человек доброжелателен и контактен, то с ним легко общаться”. Обозначим: А – “Человек является доброжелательным”, В – “Человек является контактным”, С – “С человеком легко общаться”. Формула будет такой: (AB) С
Логические операции выполняются в следующей последовательности: ¬, , , , ó. Это позволяет упрощать запись, избавляясь от лишних скобок. Например, вместо формулы
((AB) (В)) () можно записать ABВ .
Способ “вычисления истинности” логических формул – построение таблицы истинности.
Пример:
Построить таблицу истинности для формулы В.
Таблица 2.6
А | В | В | |||
и | и | л | л | л | и |
и | л | л | и | и | л |
л | и | и | л | и | и |
л | л | и | и | и | л |
Если формула содержит три переменных, то для нее будет 8 различных наборов значений истинности. Если в формуле п переменных, то различных наборов значений истинности будет 2п..
Две логические формулы называются равносильными, если их таблицы истинности совпадают.
В логике высказываний существуют следующие равносильности или законы логики, связанные с законами мышления:
I. АА – закон тождества.
II. AЛ – закон противорчия
III. AИ – закон исключенного третьего
IV. А– снятие отрицания
V. AАА; AАА
VI. AВВА; AВВА – коммутативность
VII. (AВ) С= А(ВС); (AВ)С= А(ВС) – ассоциативность
VIII. А(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)–дистрибутивность
IX. ; – законы Де Моргана
X. AИА; AЛА
XI. AЛЛ; AИИ
XII. А(AВ)А; A(AВ)А
XIII. (AВ) (В) В; (AВ) (В) В
XIV. АB В; АB – замена импликации
Доказать эти законы можно с помощью таблиц истинности.
Логическая формула называется тождественно истинной или тавтологией, если она принимает только значение “и” при любом наборе значений истинности входящих в нее переменных.
Логическая формула называется тождественно ложной, или противоречием, если она принимает только значение “л” при любом наборе значений истинности входящих в нее переменных.
Тождественно истинные и тождественно ложные формулы играют важную роль в математической логике, так как являются моделями для многих задач. Так, тождественно истинные формулы используются при построении логических выводов одних утверждений из других, тождественно ложные – при анализе совместности утверждений. Аксиомы, теоремы, статьи законодательства – примеры тождественно истинных высказываний.
Логика является незаменимой в психологических иследованиях, где проводится оценка выдвигаемых гипотез (предположений) на предмет их истинности или ложности, которая осуществляется на основе статистических критериев.