Понятие функции

Понятие функции было введено в гл. 1, раздел 1.3. Рассмотрим частный случай этого понятия, а именно числовые функции. Область отправления и область прибытия в данном случае — множество действительных чисел.

Функция – это соответствие (закон), согласно которому каждому значению переменной х из некоторого множества Х отвечает вполне определенное число у. Функция записывается в виде у = f(х), число х называется аргументом, а у – значением функции. Множество Х называется областью определения функции. Соответствующие значения у образуют множество значений функции.

Функции можно задавать:

а) аналитически с помощью формул;

б) таблицами;

в) графически.

Примеры:

1. Аналитический способ: у = х3 + 2; у = sin2 x.

2. Табличныйспособ: таблицы составляются по данным экспери­ментального изучения связи между двумя величинами, например, в результате измерения влажности воздуха в различные часы дня (табл. 4.1). В этой таблице φ определена как функция t.

Таблица 4.1

Время (t),ч.
Влажность (φ), %

 

3. Графический способ заключается в следующем: в прямоугольной системе координат задается некоторое мно­жество точек М (х;у), и при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси Оу. Это множество точек определяет функцию у = f(x). Абсциссы точек являются значениями аргумента, ординаты — значениями функции.

 

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убы­вающая, если большему значению аргумента соответствует мень­шее значение функции. Иначе это можно записать так: функция y=?(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если для любых , X, , верно неравенство

?(

Возрастающая (рис. 4.1,а) и убывающая (рис. 4.1,б) функции называются монотонными.

Примеры:

 

Возрастающими являются функции:

ü площадь S квадрата, зависящая от его стороны a: S = а2;

ü численность народонаселения в городе Энске с течением времени при условии, что рождаемость выше смертности: у = 50000 • еt/32, где е ≈ 2,7;

ü путь, пройденный телом, в зависимости от времени движения:

S = t + 2t2;

Убывающими являются такие функции:

ü время проезда от Минска до Бреста по железной дороге в зависимости от скорости: t = ;

ü число больных гриппом в городе Энске с течением времени в данный зимний период при ежедневном контроле, если прирост выздоро­вевших больше прироста заболевших: у = 20000 • е-t/10.

 

Функция четная, если у(- х) = у(х), и нечетная, если у(- х) = —у(х) для любого х из области определения функции. Например: у = cos x — четная функция, a y = sin x — нечетная (рис. 5.2). Функция у = 2x не является как четной, так и нечетной, поскольку 2-x ≠ 2x и 2-x ≠ - 2x.

Функция является пеpuoдической с периодом Т, если для любого значения аргумента у(х + Т) = у(х), т.е. функция повторяет свои значения через данный промежуток Т. Периодическими являются, например, функции у = sin x, у = cos x (см. рис. 4.2).

Периодические функции описывают, в частности, звуковые и элек­тромагнитные волны (сигналы).

 

Функция ограничена, если |f(х)| ≤ М для некоторого действительного числа М > 0 и для любого значения х из области определения функции. Функции у = cos x и у = sin x — ограниченные функции, поскольку выполняется: |sin x| ≤ 1 и |cos x| ≤ 1.

Ограниченность играет важную роль и в природных явлениях, и в социальных.

Нулями функции называются значения аргумента, обращающие функцию в нуль. Например, нулями функции у = х2 - 4 являются значения x1 = 2 и x2= - 2.

Пример:

Вид графика зависимости между сти­мулом и реакцией изображен на рис. 4.3.

 

Проанализируем этот график [1, с. 109]. Рассмотрен­ная функция возрастает до точки перенасы­щения, а далее стремительно убывает. Она ог­раничена, поскольку изменяется от нулевого значения до максимального, определенного точ­кой перенасыщения. Функция непериодическая, нуль функции при х = 0.

Пусть имеют две функции у = (x) и ζ = (y). Тогда для тех х, для которых значения у = (x) принадлежат области определения функции (y), можно определить функцию ζ =((x)). Эта функция называется сложной функциейили композицией функцийи и обозначается

ζ = () (x)

Пример:

Для функций у = -х? + 4, ζ = 2у – 2 их композицией будет функция ζ = 2(-х? + 4) – 2 = -2х? + 6.

________________________________________________________________