1. Система може мати єдине рішення.
2. Система може мати нескінченну кількість рішень.
Наприклад, . Вирішенням цієї системи є будь-яка пара чисел, що відрізняються знаком.
3. І третій випадок, коли система взагалі не має рішення.
Наприклад, , якщо б рішення існувало, то x1 + x2 дорівнювало б одночасно нулю і одиниці.
Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається спільної. В іншому випадку, тобто якщо система не має рішень, то вона називається несумісною.
Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими:
Визначник третього порядку, відповідний матриці системи, тобто складений з коефіцієнтів при невідомих,
називається визначником системи.
Складемо ще три визначника наступним чином: замінимо у визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів
Тоді можна довести наступний результат.