Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі
де x(t), y(t) є неперервно диференційованими функціями на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює
(4.10)
де – значення параметра , що відповідають кінцям дуги .
Приклад 4.11.Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди
Розв’язання. Циклоїду (рис. 12) задано в параметричній формі, тому скористаємось формулою (4.10). Продиференцюємо по параметричні рівняння циклоїди
і обчислимо підинтегральну функцію:
Одна арка утворюється при зміні параметра від 0 до . Отже . Маємо
Приклад 4.12. Знайти довжину дуги кривої
.
Розв’язання. Продиференцюємо по t параметричні рівняння кривої:
і обчислимо підинтегральну функцію:
Отже