Параметричне задання кривої

 

Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі

 

 

де x(t), y(t) є неперервно диференційованими функціями на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює

 

(4.10)

 

де – значення параметра , що відповідають кінцям дуги .

 

Приклад 4.11.Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди

 

 

Розв’язання. Циклоїду (рис. 12) задано в параметричній формі, тому скористаємось формулою (4.10). Продиференцюємо по параметричні рівняння циклоїди

 

 

і обчислимо підинтегральну функцію:

 

 

Одна арка утворюється при зміні параметра від 0 до . Отже . Маємо

 

 

Приклад 4.12. Знайти довжину дуги кривої

 

.

 

Розв’язання. Продиференцюємо по t параметричні рівняння кривої:

 

 

і обчислимо підинтегральну функцію:

 

Отже