ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

 

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АВТОМОБІЛЬНО-ДОРОЖНІЙ УНІВЕРСИТЕТ

 

Т. О. ЯРХО
О. В. НЕБРАТЕНКО
І. І. МОРОЗ

 

 

ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ.

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

  Навчально-методичний порадник  

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

 

Означення визначеного інтеграла

Нехай на відрізку [a,b] задано функцію f(x). Виконаємо наступні операції з відрізком [a,b] і функцією f(x): 1) Розіб’ємо відрізок [a,b] на n довільних частин точками х1, х2,…, хn–1:

Теорема (достатня умова інтегрування функції).

Якщо функція f(x) є неперервною на відрізку , то інтеграл існує.

Поняття визначеного інтеграла, яке було введено у випадку , узагальнюється на випадки .

Означення. Визначений інтеграл з однаковими межами інте­грування дорівнює нулю:

 

Означення. Якщо і існує,

тоді

 

 

Основні властивості визначеного інтеграла

 

Властивості, що виражаються рівностями

   

Властивості, що виражаються нерівностями

Нехай функції і є інтегровними на відрізку і .   Тоді

ІНТЕГРАЛ ЗІ ЗМІННОЮ ВЕРХНЬОЮ МЕЖЕЮ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦЯ

 

Нехай функція є неперервною на відрізку . Тоді вона є інтегровною на будь-якому відрізку . Отже, для довільного існує інтеграл із сталою нижньою межею інтегрування а і змінного верхньою межею інтегрування х. Цей інтеграл є функцією верхньої межі:

 

.

 

Означення. Функція називається інтегралом із змінною верхньою межею інтегрування.

Теорема Барроу.

Похідна інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі існує і дорівнює значенню підинтегральної функції в точці, рівній верхній межі:

 

.

 

Таким чином, функція є однією з первісних для підин­тегральної функції f(x).

Теорема Барроу вказує на зв’язок між невизначеним і визна­ченим інтегралами і дає можливість встановити простий метод обчислення визначених інтегралів за формулою Ньютона-Лейбниця.

Формула Ньютона-Лейбниця.

  .  

МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ

При обчисленні визначених інтегралів, так же само, як і невизначених інтегралів, використовують методи заміни змінної (підстановки) та інтегрування…   3.1. Метод заміни змінної (підстановки)

Інтегрування по симетричному проміжку

 

Застосування метода підстановки дозволяє довести справедли­вість наступних важливих формул щодо інтегрування парних і непарних функцій по симетричним проміжкам:

 

 

Отже тепер можна зразу, не виконуючи обчислень, сказати що наприклад, оскільки це інтег­рали по симетричним проміжкам від непарних функцій.

 

Метод інтегрування частинами

Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд  

ОСНОВНІ ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Обчислення площ плоских фігур

Декартова система координат

 

Геометричний зміст визначеного інтеграла.

Якщо функція є неперервною на відрізку то визначений інтеграл являє собою площу криволінійної тра­пеції – фігури, обмеженої лініями , (рис 1):

 

Якщо , то фігура, обмежена лініями (рис. 2) не є криволінійною трапецією. Площа цієї фігури дорівнює .

Тоді за формулою (4.1) маємо

x

 

Формули (4.1) і (4.2) можна об’єднати в одну:

 

(4.3)

 

Якщо функція на відрізку скінченне число разів змінює знак (рис. 3), то за формулою (4.3) маємо:

	y

x

b

d

c

a

	Рис. 3

 

(4.4)

 

Приклад 4.1.Знайти площі фігур, обмежених даними лініями:

а) параболою прямими і віссю абсцис ;

б) параболою прямою і осями координат .

Розв’язання

а) Виконаємо (рис. 4).

 

	Рис. 4

Застосуємо формулу (4.1). Одержимо

б) Виконаємо рисунок (рис. 5).

 

	Рис. 5

 

Функція на відрізку змінює знак, а саме: Для знаход­ження шуканої площі S скористаємося формулою (4.4):

Якщо плоска фігура обмежена двома неперервними кривими і и двома вертикальними прямими (рис. 4), то її площа обчислюється за формулою (4.5):

 

Рис. 6

 

 

. (4.5)

Приклад 4.2. Знайти площу фігури, обмеженої даними лініями:

 

.

 

Розв’язання. Для того, щоб обчислити площу заданої фігури, необхідно:

а) побудувати плоску фігуру, обмежену заданими лініями;

б) визначити межі інтегрування;

в) обчислити відповідний визначений інтеграл.

 

Рис. 7

Виконаємо рисунок (рис. 7). Рівняння верхньої лінії нижньої лінії Визначимо межі інтегру­вання. Для цього обчислимо абсциси точок перетину прямої і параболи .

 

.

 

За формулою (4.5):

 

 

Якщо плоска фігура має складнішу форму (рис. 8), то пря­мими, паралельними оси ОY, її треба розбити на скінчену суму фігур, площі яких знаходяться за формулою (4.5). Тоді площа S дорівнюватиме сумі знайдених площ фігур (на рис. 8 ).

 

 

Рис. 8

 

Приклад 4.3. Знайти площу фігури, обмеженої даними лініями:

 

 

 

Розв’язання

 

 

Рис. 9

 

Виконаємо рисунок (рис. 9). Знайдемо абсциси точок перетину ліній, що обмежують фігуру.

Лінії і перети­наються у точці (0;0).

Щоб знайти абсцису точки перетину ліній і , розв’яжемо рівняння

 

 

Отже абсциса точки перетину цих ліній x=4.

Абсциса точки перетину ліній і визначається з рівняння:

 

 

Запишемо рівняння верхньої ліній що обмежують фігуру:

 

 

Оскільки нижня лінія задається при різних значеннях х різними аналітичними виразами, розіб’ємо фігуру на дві частини прямою . Застосовуючи формулу (4.5), одержимо:

 

 

Якщо криволінійна трапеція обмежена лініями (рис. 10) то формула для обчислення її площі має вигляд (4.6):

 

 

Приклад 4.4. Знайти площу фігури, обмеженої лініями

 

Розв’язання. Виконаємо рисунок (рис. 11).

 

–2

Рис. 11

 

Параметричне задання кривої

Площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою з пара­метричними рівняннями  

Задання кривої в полярній системі координат

Площа криволінійного сектора (рис. 14), обмеженого дугою кривої , де – неперервна функція, а також відрізками променів у полярних координатах…       A

Обчислення довжин дуг кривих

Декартова система координат

Якщо криву задано рівняннями , де є неперервними функціями на відрізку , то довжина дуги цієї кривої, що міститься між прямими обчислюється за…  

Параметричне задання кривої

Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі  

Задання кривої в полярній системі координат

Якщо криву задано рівнянням в полярній системі координат, де функція є неперервна диференційованою на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює   (4.11)

Обчислення об’ємів тіл обертання

 

Декартова система координат

Об’єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою віссю Ох і прямими навколо осей Ох і Оy виражається відповідно,…  

Обчислення площ поверхонь тіл обертання

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги кривої , де є неперервно диференційо­ваною функцією на відрізку [a,b], виражається…   (4.19)

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ

 

В п. 4 розглянуто застосування визначеного інтеграла до розв’язання геометричних задач, а саме: обчислення площ плоских фігур, довжин дуг кривих, об’ємів тіл обертання, площ поверхонь обертання. Відповідні формули (4.1) – (4.23) в теоретичному курсі виводяться на основі означення визначеного інтеграла.

Застосуємо цей підхід до розв’язання деяких фізичних і механічних задач. Спочатку наведемо загальну схему застосування визначеного інтеграла.

 

Загальна схема застосування визначеного інтеграла

 

Нехай необхідно знайти значення якої-небудь геометричної або фізичної величини А, що відповідає зміни незалежної змінної х від а до b. Будемо передбачати величину А адитивною, тобто такою, що при розбитті відрізка точкою с (а<c<b) на частини і значення А, яке відповідає відрізкові , дорівнює сумі значень, що відповідають і .

Розіб’ємо відрізок на n частинних відрізків точками

 

поклавши .

 

Відповідно до цього величина А розіб’ється на n доданків

 

 

Нехай існує така функція f(x), що «елементарний» доданок , який відповідає відрізкові , можна представити у вигляді

 

(5.1)

 

де ,

 

причому точність наближеної рівності (5.1) тим вище, чим меншою є найбільша з довжин частинних відрізків . В цьому випадку одержуємо наближену рівність для А:

 

(5.2)

 

тим більш точну, чим меншим є значення

Тоді природно вважати

 

. (5.3)

 

На практиці наведені міркування формулюють в більш компактній формі. Якщо елемент величини А, що відповідає елементарному відрізкові , з точністю до малих вищого порядку можна представити у вигляді

 

(5.4)

 

то . (5.5)

 

Задача про пройдений шлях

 

Нехай точка рухається вздовж прямій зі швидкістю v(t), де v(t) є неперервною функцією часу t. Треба визначити шлях s, який пройде точка за проміжок часу : від моменту t = a до моменту t = b (a<b).

Розв’язання.

Розіб’ємо відрізок точками

 

 

на n частинних відрізків . Припустимо, що відрізок є таким малим, що швидкість v(t) на цьому відрізку можна вважати сталою і рівною, наприклад де . Це означає, що рух точки на проміжку вважається рівно­мірним. Тому шлях пройдений точкою за час наближено дорівнює

 

,

 

а шлях s, пройдений за час , виражається наближеною формулою

(5.6)

 

Ця наближена рівність тим точніша, чим менші величини . Тому природно за шлях S вважати границю знайденої суми

 

. (5.7)

 

Приклад 5.1. Знайти шлях, що буде пройденим автомобілем за 2 години від початку руху, якщо його швидкість в довільний момент часу дорівнює

 

км/год.

Розв’язання.

 

 

Задача про масу неоднорідного стержня і координати центра мас

 

Нехай прямолінійний стержень лежить на осі Ох в межах відрізка . Треба знайти масу m цього стержня, якщо його густина є деякою неперервною функцією від .

Розв’язання

Розіб’ємо стержень на n довільних частин точками

 

.

 

Якщо відрізок достатньо малий, то функція на ньому змінюється мало. Тому маса частини стержня

 

 

яка відповідає цьому відрізку, наближено дорівнює

 

,

 

а маса всього стержня

 

(5.8)

Точне значення маси знайдемо як границю цієї суми, тобто

 

(5.9)

 

Знайдемо координати центра мас. Якщо малі, то стержень можна представити у вигляді системи матеріальних точок з координатами х₁,x₂,…,і масами

Центр мас такої системи має координату

 

(5.10)

 

Координату центра мас стержня одержимо граничним пере­ходом при

 

 

(5.11)

 

Приклад 5.2. Знайти масу стержня, розташованого на відрізку [0,2] осі Ох, якщо його густина Обчислити координату його центра мас.

Розв’язання

 

 

 

Задача про роботу змінні сили

 

Нехай на матеріальну точку діє сила , яка є сталою за напрямом і неперервно змінюється за величиною. Нехай під дією цієї сили точка перемістилася вздовж осі Ох з точки а в точку b (a<b). Обчислити роботу цієї сили на відрізку [a,b]

Розв’язання. У кожній точці діє сила , величина якої за умовою є неперервною функцією від х: .

Розіб’ємо відрізок [a,b] точками

 

 

на n частинних відрізків , . Припустимо, що кожний з частинних відрізків є таким малим, що F(x) на ньому можна вважати сталою і рівною значенню в деякій довільно вибраній точці

 

 

Робота, що виконана силою на відрізку наближено дорівнює

 

 

Оскільки робота на відрізку [a,b] дорівнює сумі робіт на всіх частинних відрізках, то

 

(5.12)

 

Ця наближена рівність тим точніша, чим менші довжини . Тому природно за роботу сили на шляху [a,b] вважати границю суми (5.12), а саме:

 

(5.13)

 

Приклад 5.3. Яку роботу треба виконати, щоб розтягнути пружину на 10 см, якщо сила в 20Н розтягує пружину на 5 см?

Розв’язання. За Законом Гука упруга сила, що розтягує пружину, пропорційна розтягу х, тобто

 

,

 

де k – коєффіцієнт пропорційності (жорсткість пружини). За умо­вою задачі сила F = 20H розтягую пружину на х = 0,05 м. Отже 20 = k 0,05, звідси k = 400 (Н/м), отже F = 400 x. Шукана робота за формулою (5.13) дорівнює

 

.

 

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

 

Завдання 1. а), б), в), г), д).

Обчислити визначені інтеграли.

Завдання 2. а), б), в), г).

Обчислити площу фігури, обмеженої даними кривими

Завдання 3. а), б), в).

Знайти довжину дуги кривої.

Завдання 4. Знайти об’єм тіла, утвореного обер­танням фігури, обмеженої даними кривими, навколо даної осі.

Завдання 5. Знайти площу поверхні, утвореної при обертанні даної кривої навколо заданої осі.

Завдання 6. Знайти шлях, що буде пройденим тілом від момен­ту t₀=0 до моменту t₁.

Завдання 7. Знайти масу стержня, розташованого на відрізку [a,b] осі Ох, якщо його густина g(х). Обчислити координату його центра мас.

Завдання 8. Знайти роботу, що виконується при розтягу пру­жини жорсткості k Н/см на l см.

 

Варіант 1

 

4.

5.

6.

7. .

8.

 

 

Варіант 2

 

2.

3.

.

4.

5.

6.

7. .

8.

 

Варіант 3

 

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

 

Варіант 4

 

2.

3. .

4.

5.

6.

7. .

8.

Варіант 5

 

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

 

Варіант 6

 

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

 

Варіант 7

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Варіант 8

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 9

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 10

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Варіант 11

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 12

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 13

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Варіант 14

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 15

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 16

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Варіант 17

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

 

Варіант 18

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 19

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 20

 

2. ;

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 21

 

2. ;

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

 

Варіант 22

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 23

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 24

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 25

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

 

Варіант 26

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 27

 

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 28

 

2.

3.

б)

4.

5.

6.

7.

8.

 

Варіант 29

 

2.

3.

б)

4.

5.

6.

7.

8.

Варіант 30

 

2.

3.

б)

4.

5.

6.

7.

8.

 

ДОДАТОК

 

ДЕЯКІ КРИВІ

   

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Дубовик В.П., Вища математика / Дубовик В.П., Юрик І.І. – К:А.С.К., 2006. – 648 с. 2. Пискунов М.М. Дифференциальное и интегральное исчисления / Пискунов М.М. –… 3. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – М: «Наука», 1968 – 727 с.

ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ.

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ

 

 

Навчально-методичний порадник

 

 

Відповідальний за випуск Т. В. Ємел’янова

 

Авторська редакція

 

Комп’ютерна верстка М. В. Дурова

 

Дизайн обкладинки О.В. Веретільника

 

 

План 2011 р. Поз 5.

Підписано до друку 31.08.2011 р. Формат 60´84 1/16. Папір офсетний.

Гарнітура Times New Roman Cyr. Віддруковано на ризографі

Ум.друк. арк. 5,1. Обл.-вид.арк. 6,0.

Зам. № 473/11. Наклад 300 пр. Ціна договірна

Видавництво

Харківського національного автомобільно-дорожнього університету

Видавництво ХНАДУ, 61002, Харків-МСП, вул. Петровського, 25.

Тел. /факс: (057)700-38-64; 707-37-03, e-mail: rio@khadi.kharkov.ua

Свідоцтво Державного комітету інформаційної політики, телебачення

та радіомовлення України про внесення суб’єкта видавничої справи

до Державного реєстру видавців, виготівників і розповсюджувачів

видавничої продукції, серія № ДК №897 від 17.04 2002 р.