Якщо криву задано рівнянням в полярній системі координат, де функція є неперервна диференційованою на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює
(4.11)
де є значеннями кута на кінцях дуги .
Приклад 4.13. Знайти довжину кардіоїди
Розв’язання. Побудуємо графік кривої, рівняння якої задано у полярних координатах. Зазначимо, що у разі заміни на рівняння не змінюється. Отже крива розташована симетрично відносно полярної осі. Якщо змінюється від 0 до , то спадає від 6 до 0. Складемо таблицю значень аргументна і функції :
Рис. 20
Для обчислення довжини дуги застосуємо формулу (4.11).
тому
Кардіоїда симетрична відносно полярної осі, тому знайдемо довжину її верхньої половини і помножимо на 2. Оскільки
Маємо
Приклад 4.14. Знайти довжину дуги кривої
Розв’язання.
Зауваження. Формули (4.9), (4.10)., (4.11) можна об’єднати в одну
де – диференціал дуги, причому