Задання кривої в полярній системі координат

 

Якщо криву задано рівнянням в полярній системі координат, де функція є неперервна диференційованою на відрізку , то довжина дуги кривої дорівнює

 

(4.11)

 

де є значеннями кута на кінцях дуги .

Приклад 4.13. Знайти довжину кардіоїди

Розв’язання. Побудуємо графік кривої, рівняння якої задано у полярних координатах. Зазначимо, що у разі заміни на рівняння не змінюється. Отже крива розташована симетрично відносно полярної осі. Якщо змінюється від 0 до , то спадає від 6 до 0. Складемо таблицю значень аргументна і функції :

 

 

 

Рис. 20

 

Для обчислення довжини дуги застосуємо формулу (4.11).

 

тому

Кардіоїда симетрична відносно полярної осі, тому знайдемо довжину її верхньої половини і помножимо на 2. Оскільки

Маємо

Приклад 4.14. Знайти довжину дуги кривої

 

 

Розв’язання.

Зауваження. Формули (4.9), (4.10)., (4.11) можна об’єднати в одну

 

 

де – диференціал дуги, причому