Обчислення площ поверхонь тіл обертання

 

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги кривої , де є неперервно диференційо­ваною функцією на відрізку [a,b], виражається інтегралом

 

(4.19)

 

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Оу дуги кривої , де є неперервно диференційов­ною на відрізку [с,d], виражається інтегралом

 

. (4.20)

 

Приклад 4.20. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох однієї півхвилі синусоїди

Розв’язання. Виконаємо рисунок (рис. 28).

 

 

Рис. 28

Застосуємо формулу (4.19):

 

Обчислимо інтеграл , застосовуючи метод інтегру­вання частинами:

 

 

Тому

 

 

Отже

 

.

 

 

Приклад 4.21.Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Оу кривої .

Розв’язання. Виконаємо рисунок (рис. 29).

 

 

Рис. 29

 

Застосуємо формулу (4.20).

 

Тут ;

.

 

 

Зауваження

1. Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі:

, де х(t), y(t) є неперервно диференційовними функціями на відрізку , то площі поверхонь, утворених обер­танням кривої навколо осей Ох і Оу, обчислюється з формулами:

; (4.21)

 

(4.22)

 

2. Якщо криву задано рівнянням в полярній системі координат і функція є неперервно диференційованою на , то площа поверхні, утвореної обертанням навколо полярної осі кривої

 

виражається формулою:

 

. (4.23)