Задання кривої в полярній системі координат

 

Площа криволінійного сектора (рис. 14), обмеженого дугою кривої , де – неперервна функція, а також відрізками променів у полярних координатах виражається формулою (4.8):

 

	A

(4.8)

Рис. 14

Приклад 4.7. Знайти площу фігури, обмеженої лемніскатою Бернуллі: .

Розв’язання. Оскільки , то . Знайдемо ті зна­чення , для яких виконується ця нерівність.

 

.

При

при

при – зроблено повний зворот, і значення функції повторюються.

 

Отже

 

Складемо таблицю значень для (як відстань від точки кривої до полюса):

 

			2,52	2,12

 

Побудуємо графік кривої, враховуючи симетрію відносно координатних осей (в силу парності та – періодичності функції ):

 

 

Рис. 15

 

 

Приклад 4.8. Знайти площу фігури, обмеженої чотири­пелюстковою розою

Розв’язання

 

 

Рис. 16

 

Знайдемо такі значення кута , за яких крива існує. Оскільки – це відстань від точки кривої до полюса, то . Тому

 

 

При:

– зроблено повний зворот, і значення функції повторюється.

Функція зростає, коли , і спадає, коли .

Функція має період . Тому крива у кожному з проміжков одержується з кривої, розташованої у зворотом на , відповідно. Виконаємо рисунок (рис. 16). Щоб знайти площу фігури, яка обмежена кривою, , достатньо обчислити площу пелюст­ка, розташованого в , а потім цей результат помножити на 4.