Канонические уравнения:
эллипса ,
гиперболы ,
параболы ;
Эксцентриситеты
эллипса ,
гиперболы
параболы ,
где rи d- расстояния любой точки параболы до фокуса и директрисы соответственно. Уравнение директрисы параболы ; .
Построение кривойв полярной системе координат
Полярная система координат задается точкойО(полюсом), выходящим из нее лучом и единицей масштаба. Полярные координаты точки М - два числа ρ и φ, первое из которых ρ (полярный радиус) равно расстоянию точки М от полюсаО, а второе φ (полярный угол) - угол, на который нужно повернуть полярный луч против часовой стрелки до совмещения с лучом ОМ.
| Номер точки | |||||||
| j | |||||||
| r | -0,1 | 0,5 | -3,5 | 4,1 | 4,6 |
Обычно считают, что ρ и φ изменяются в пределах
,
чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было однозначным.
Замечание. В задачах, связанных с перемещением точки по плоскости (в механике), удобнее отказаться от этих ограничений, когда естественно считать, что при вращении точки угол может быть и больше 2π, а при движении точки по прямой, проходящей через полюс, считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак на отрицательный.
Пример 6.2.7. Построить график функции ρ = 2 + 3cos φ.
Построение выполняем поточечное. Выяснив область определения функции( ), задаемся для начала значениями φ в интервале [0,2π] и вычисляем соответствующие значения ρ:
| Номер точки | ||||||||||
| j | π | |||||||||
| r | 4,6 | 4,1 | 3,5 | 0,5 | -0,1 | -0,5 | -1 | -0,5 |
Выполним построение с помощью транспортира.
Улитка Паскаля
При значениях полученные точки повторяются.
Замечание 1. Если форма кривой неясна, берем промежуточные точки.
Замечание 2. Наиболее часто встречающиеся кривые и их название приведены в справочнике [3] .