Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:
.
Пример 6.6.2.
1)функция - первообразная функции
в интервале , поскольку для всех Х;
2)функция - первообразная функции в интервале т.к.
3) функция - первообразная функции , ибо .
Возникает вопрос, всякая ли функция f(x) имеет на данном промежутке первообразную.
Очевидно, далеко не всякая.
В дальнейшем (в разделе “Определённый интеграл”) нами будет доказана следующая теорема:
Теорема. Любая, непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.
Далее возникает следующий вопрос:
Если некоторая функция имеет первообразную, то единственна ли эта первообразная?
Ответ и здесь будет отрицательным.
Так, для функциии первообразной будет не только функция , но и
, , и вообще всякая функция вида , где С – произвольная постоянная.
Функции такого вида исчерпывают все первообразные данной функции .
Справедлива следующая теорема, которая подтвердит последнее утверждение для любых функций.
Теорема. Если F(x) первообразная функции на , f(х) , то , где С производная постоянная, так же является её первообразной.
Определение 2. неопределённым интегралом от данной функции называется множество всех её первообразных: , где
Знак - называется знаком неопределённого интеграла; функция - подынтегральной функцией; выражение - подынтегральным выражением; - переменное интегрирование.
Операция нахождения первообразной данной функции называется интегрирование.
Таким образом, чтобы найти неопределенный интеграл от данной функции , достаточно найти какую - либо её первообразную и составить сумму ,где С – производная постоянная.
Пример6.6.3. ; .
Свойства неопределённого интеграла.
Неопределённый интеграл обладает след. Основными свойствами.
1. Производная неопределённого интеграла равна подинтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:
(т.е. знаки в и , тогда первый помещен перед вторым , взаимно сокращаются ).
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:
(т.е. знаки dи сокращается и тогда, когда d стоит после ,только при этом к рез – ту нужно прибавить производную постоянную.)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.
(k=const)
4. Неопределённый интеграл от суммы нескольких слагаемых функции.
так, для 2-х слагаемых:
. (*)
При вычислении неопределенного интегралов полезно знать следующее правило:
Если то
Дано,
Пример6.6.4. .
Проверка: .
(следует, равенство выполняется).
.
Таблица основных неопределенных интегралов
Таблицу простейших неопределённых интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.
Будем исходить из следующего: если , то .
Например 6.6.5.Поскольку то .
Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получаем следующую таблицу простейших неопределённых интегралов:
1. .
2.
3. .
4. . 4a. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. . (если ).
20. .
21. .
22.
Пример6.6.6. .
Пример6.6.7. .
Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 3 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку х=0, формула 9 – для интервала и т.п.
Эти формулы часто употребляются, поэтому их необходимо помнить наизусть.
Основные формулы интегрирования получаются путем обращения формул для производных, поэтому перед изучением настоящей темы необходимо повторить основные формулы дифференцирования функций.
Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования функций, видим:
1) если для дифференцируемости функции непрерывность функции является условием необходимым, но не достаточным, то для интегрируемости функции непрерывность функции на данном отрезке является только условием достаточным, но необходимым.
2) В то время как операция дифференцирования однозначна, операция интегрирования многозначна, ибо если функция имеет первообразную на отрезке, то она имеет и бесчисленное множество первообразных на этом отрезке.
Однако задача отыскания совокупности всех первообразных сводится к задаче отыскания только одной первообразной, так как все первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.