Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.
Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным.
В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского:
,
Где - правильная несократимая рациональная дробь;
- общий наибольший делитель многочлена его производной ;
- частное от деления на ;
- неизвестные многочлены, степень каждого из которых по крайней мере на единицу ниже соответствующего знаменателя; при этом называется рациональной частью интеграла.
Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, покажем на примере:
Пример6.6.60. ;
Применяем метод Остроградского. Здесь ;
Поэтому наибольший общий делитель: и есть ;
Тогда ;
Следовательно, согласно формуле Остроградского, мы будем иметь:
где и - многочлены степени не выше второй.
Напишем их с неопределенным коэффициентом
Дифференцируя обе части этого равенства найдем:
;
Освобождаясь от знаменателя, получим тождество:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левых частях этого тождества, получим систему уравнений:
, Решая ее, найдем:
,
,
,
,
. Следовательно
.
; ;
и т.д.