Интегралы вида
Где - рациональная относительно и функция;
; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.
Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические подстановки и другие, о которых шла речь выше.
Рассмотрим эти подстановки:
1-я подстановка Эйлера.
Так называется подстановка
Она применяется, если
Обе указанные разновидности этой подстановки (со знаком «+» и со знаком «-») однотипны (вопрос о том, какая из них удобнее, решается в каждом отдельном случае по-своему).
Рассмотрим одну из них: ; возводя обе части в получим:
видим, что член уничтожается – в этом “соль” данной подстановки
.
Тогда ;
.
т.е. вопрос свелся к интегрированию рациональной функции
Пример6.6.61. .
Где, .
2-я подстановка Эйлера:
;
Она применяется, когда
Пусть
,
Откуда видно, что рационально выражаются через t и dt.
Пример6.6.62.
где
3 -я подстановка Эйлера:
Пусть , но корни трехчлена действительны (если корни мнимые, то трехчлен при любом значении – при - отрицателен).
Пусть и - корни трехчлена, кроме того, пусть .
Пример6.6.63.
Где,