Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (частичных) возьмем произвольные точки ξi (i=1,2,3…n). Во взятых точках вычислим значения функции f(x): f(ξ1), f(ξ2), f(ξ3)…, f(ξn).
Составим произведения длин ∆x1 , ∆x2, …,∆xn частичных отрезков на значения функции f(ξi).
Все эти произведения сложим и выразим сумму их через
(6.7.1)
где σ=f(ξ1)∆х1+f(ξ2) ∆х2+f(ξ3)∆х3+…+ f(ξn)∆хn; или
Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f(x)на отрезке [a;b].
Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b]однако так, чтобы длина ∆xiкаждого отрезка [xi-1;x] стремилась к нулю; и рассмотрим получающееся при этом множество интегральных сумм σ.
Еслипри этом разбиении интегральные суммы будут стремиться к одному и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x)на отрезке[a;b].
Определение.
Если существует пределсуммы (1) при ∆хi→0, то говорят, что функция f(x) интегрируема на [a;b], число I называют определенным интегралом от функции f(x) на [a;b]. ,
где числа «а» и «b» называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним, верхним; отрезок [a;b] – промежутком интегрирования.
Основные свойства определённого интеграла
1. По определению .
2. По определению .
3. Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство
.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т. е.
.
5. Определённый интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.
.