Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения вместо старой переменной новой переменной t, связанной со старой соотношением .
Итак, введем новую переменную t, положив .
Пусть выполняются следующие условия:
а) функция определена и непрерывна на отрезке ;
б) при изменении tна значения функции не выходят за пределы отрезка . При этом ;
в) Функция на отрезке имеет непрерывную производную .
Тогда имеет место равенство
(6.7.4)
При пользовании формулой (6.7.4) следует функцию стараться выбирать так, чтобы новый интеграл был более простым для вычисления, чем первоначальный.
Пример 6.7.3.Вычислить:
Решение: применим подстановку: . Найдем пределы интегралов для новой переменной при , при .
Следовательно, при применении x от1/3 до 1 новая переменная t изменяется от 3 до 1.
Функция - убывает и непрерывна вместе со своей производной
на отрезке
Пример 6.7.4. Вычислить: .
Решение.