Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сечения (т.е. площадь сечения, образованного плоскостью перпендикулярной к оси ОХ - тела). Требуется вычислить объем этого тела.
, где S – площадь поперечного сечения.
Объем тела вращения
Пусть вокруг оси ОХ вращается криволинейная трапеция, ограниченная осью ОX, прямыми x=a и x=b и кривой , где - непрерывная, неотрицательная на отрезке [a; b] функция. Тогда эта криволинейная трапеция опишет тело, являющееся телом вращения.
Пример 6. 7.7.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой и прямой х=1.
Решение:
искомый объем получается как разность двух объемов, получающихся при вращении вокруг оси ОХ двух криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно кривыми и . Область определения функции
Вычисление длины дуги
Длина дуги в полярных координатах
Пусть на плоскости XOY дана кривая, уравнение которой y=f(x), где f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция.
Пусть производная этой функции также непрерывная функция на отрезке [a,b].
.
Пример 6.7.7..Вычислить длину дуги кривой между точками пересечения ее с осью ОХ.
Решение:
у=0, , .
Т.к. ув четной степени, то кривая симметрична относительно оси ОХ.
ОДЗ: .
,
: