Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы

Объём цилиндрического тела. Двойные интегралы

Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла , так и задача о вычислении объёма цилиндрического тела приводит к новому понятию – понятию двойного (определённого )интеграла ( эта задача даёт геометрическое толкование двойного интеграла ).

Рассмотрим цилиндрическое тело , ограниченное (рис 1.1) :

z = f(x,y)

 

y

 

 

 

 

 

х

 

 

обл D -основание цилиндрич. тела

Рис. 1.1

 

1) сверху поверхностью z = f (x,y) , где f(x,y) – непрерывная неотрицательная в области D функция;

2) с боков – некоторой цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ ;

3) снизу – частью плоскости ОХУ – замкнутой областью D .

Вычислим объём V этого тела .

Разобьём основание цилиндрического тела областью D кривых на n замкнутых ограниченных областей D_i (i= 1,2, ...,n) , имеющих площади DS_i (i= 1,2, ...,n) .

В каждой из областей D_i выберем по точке ( x_i ; h_i ) и составим произведения вида V_i = f(x_i ; h_i) DS_i (i = 1,2, ...,n) .

Каждое из таких произведений геометрически представляет собой объём прямого цилиндра с высотой h_i = f(x_i ;h_i) и основанием D_i ,а сумма

 

V_n = SV_i = Sf(x_i ; h_i) DS_i – объём " ступенчатого тела ", составленного из всех таких цилиндров .

Диаметром области называется наибольшая её хорда . Или : диаметром замкнутой области называется наибольшее расстояние между двумя точками контура области .

Если теперь стремить число разбиений n к бесконечности , причём так , чтобы диаметры всех элементарных областей D_i стремились к нулю , то V_n , как представляется очевидным , будет иметь предел , равный объёму данного цилиндрического тела :

(6.7.6)

Задача разыскания предела таких сумм и приводит к понятию двойного интеграла .