Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.
Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , более удобной , например , полярной .
Если 1) подынтегральная функция или 2) уравнение границы области интегрирования В содержит сумму , то в большинстве случаев упрощение интеграла достигается преобразованием его к полярным координатам , т.к. в полярных координатахх.
.
Рассмотрим , как двойной интеграл в прямоугольных координатах преобразовать в двойной интеграл в полярных координатах.
Пусть имеем двойной интеграл
,
где функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области D .
Будем считать , что область D такова , что любая прямая , проходящая через начало координат , пересекает границу области более , чем в 2-х точках.
Преобразуем интеграл от прямоугольных координат к полярным координатам r и q .
При выводе формулы преобразования мы воспользуемся , хотя и не вполне строгим ,но простым и наглядным геометрическим методом рассуждений .
Отнесём область D к полярным координатам , приняв ось ОХ за полярную ось , а начало координат за полюс .
В этом случае , как легко установить , прямоугольные координаты точки связаны с полярными координатами следующим соотношениями :
Для того , чтобы получить все точки плоскости ОХУ , достаточно , очевидно, ограничиться знчениями r³ 0 и 0 £q£ 2p.
По определению двойной интеграл
.
Поскольку этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области , то мы можем разбить область D по своему усмотрению.
Рассмотрим такое дробление области D , чтобы легче было осуществить преобразование двойного интеграла к полярным координатам .
Разобъём область D на частичные области с помощью 1) концентрических окружностей с центром в полюсе и 2) лучей , исходящих из полюса О.
Пусть этому разбиению области D отвечает интегральная сумма
( Площади частичных областей Di( i =1,2, . . . , n) обозначим через DSi ).
Частичная область Di представляет собой криволинейную фигуру, ограниченную двумя дугами концентрических окружностей радиусов ri и ri+1 и двумя отрезками лучей .
.
Обозначим ( Средний радиус между ri и ri+ Dri).