Тогда .

 

Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( x_i ,h_i ) областей D_i выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиуса r_i .

Согласно формулам для произвольно выбранной т. ( x_i ,h_i ) будем иметь

 

 

 

(взяли , т.к. точка находится на окружности радиуса ).

Угол q_i – между полярной осью и лучом , проходящим через т. ( x_i ,h_i )

 

Тогда

В пределе получим :

 

Т.к. слева в равенстве стоит интегральная сумма для непрерывной функции f (x,y) , а справа – интегральная сумма также для непрерывной функции f(rcosq, rsinq)r , то пределы этих сумм существуют и равны соответствующим двойным интегралам .

 

 

 

Подставив в сумму получим

 

.

Его можно сформулировать так :

Правило преобразования .

Для того чтобы преобразовать двойной интеграл в прямоугольных координатах в интеграл в полярных координатах , нужно :

1) в подынтегральной функции f(x,y) заменить х и у соответственно через rcosq и rsinq;

2) элемент площади dxdy в прямоугольных координатах заменить произведением rdrdq( которое называют элементом площади в полярных координатах ).

Сначала отмечают крайние значения a и b полярного угла q .

Угол a соответствует точке А , угол b – точке В контура . точки А и В разбивают контур ( границу области D) на 2 части : АСВ и ВЕА, уравнения которых соответственно обозначают через r₁ = r₁( q ) и r₂ = r₂( q ) , где r₁( q ) и r₂( q ) – непрерывные функции , заданные на сегменте [a,b] . Следовательно, область D ограничена 1) линиями

r₁ = r₁( q ) – уравнение АСВ,

r₂ = r₂( q ) – уравнение ВЕА и

 

2) двумя лучами , образующими с полярной осью углы a и b ; причём a<b ; r₁( q ) и r₂( q ) – непрерывные функции .

Следовательно , пределы внешнего интеграла будут a и b . Найдём пределы внутреннего интеграла .Для этого фиксируем произвольное значение угла q между a и b , затем из полюса О под углом q проводим луч ОЕ.

Точка входа этого луча в области D лежит на линии r₁ = r₁( q ) , а точка выхода его из области D лежит на линии r₂ = r₂( q ) .

Уравнения этих линий и дают соответственно нижний и верхний пределы внутреннего интеграла :

 

. (

Пример 6.8.7.

Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в следующем интеграле :

 

.