Решение

 

.

 

Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,

где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х² + у² = е² и х² + у² = 1 .

y

 

x

 

 

 

 

 

Пример 6.8.9.Вычислить , где (D) область , ограниченная полярной осью и кривой с дополнительным условием : полярный угол .

Решение .

 

 

Кривая - лемниската . Определим , как изменяется угол j в области D . С увеличением угла j ( при условии j<p/2) полярный радиус r уменьшается . При некотором значении j он становится равным нулю . Найдём это значение j .

Подставим в уравнение лемнискаты r = 0 и получим уравнение для определения j :

 

 

( учтено условие , что j<p/2 ).

Таким образом , в области D полярный угол изменяется от 0 до p/4 .

Переменная r изменяется в области D от r= 0 до , по формуле

 

.