Определение поверхностного интеграла I рода

Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограниченная функция f(M) = f (x,y,z)

Разобьём поверхность S произвольно на n частей с площадями DS₁ , DS₂ . . . DS_n . Выбрав на каждой частичной поверхности произвольную точку M_i (x_i , h_i , V_i), составим сумму

 

 

 

Сумма называется интегральной суммой для функции f(M) по поверхности S . Пусть диаметры площадей DS_i , d₁ . . . d_n , наибольший из всех диаметров обозначим через d .

Определение

Если интегральная сумма при d®0 имеет предел , равный J ,то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S и обозначается символом

 

 

 

Функция f(x,y,z) называется интегрируемой по поверхности S , S- область интегрирования .

Определение аналогично определению двойного интеграла , поэтому свойства двойных интегралов и условия $ переносятся на поверхностные интегралы .

Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности .

Если f(x,y,z) > 0 и её рассматривать как поверхностную плотность массы материальной поверхности , то определяет массу этой поверхности .