Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .
Пусть поверхность S задана уравнением
z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z1x (x,y) и Z1у (x,y) непрерывны в замкнутой области G , которая является проекцией S на плоскость хОу .
Пусть функция y = f(x,y,z) непрерывна на поверхности S и ,следовательно, интегрируема по этой поверхности .
Разобъём поверхность S произвольно на n частей и спроектируем это разбиение на плоскость ОХУ. Получим соответственно разбиения областей G на G1 ,G2 , . . . ,Gn . Площадь DSi каждой части поверхности может быть представлена в виде
.
Применяя к двойному интегралу теорему о среднем , можно получить , что :
,
где z = z(x,y). Переходя к пределу d®0 .
.
Пример 6.8.10.
Вычислить интеграл , где S- часть параболоида вращения Z = 1 – x2 – y2 , отсечённого z = 0 .
Решение .
Поверхность Z = 1 – x2 – y2 проектируется на плоскость ОХУ в область G , ограниченную окружностью х2 + у2 = 1 .
Z1x = -2x ,Z1y = -2y .
.