Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:
, (6.1.1)
где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер столбца, на пересечении которых находится элемент . В другой записи (1) имеет вид
. (6.1.2)
Если m=n, то матрица (1) называется квадратной.
Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка
. (6.1.3)
Определителем 2-го порядка, соответствующим квадратной матрице (3), называется число, обозначаемое и определяющееся по следующему правилу:
. (6.1.4)
Пример6.1.1. .
Определителем 3-го порядка, соответствующим квадратной матрице A третьего порядка , (6.1.5)
называется число, обозначаемое и определяющееся по следующему правилу:
. (6.1.6)
Возьмем определитель 4-го порядка
(6.1.7)
и рассмотрим, например, его элемент . Мысленно зачеркнем третью строку и первый столбец, на пересечении которых находится этот элемент. Тем самым из оставшихся элементов образуем число
(6.1.8)
которое называется алгебраическим дополнением элемента . Определитель
, (6.1.9)
называется минором элемента . Таким образом, .
Определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца.
Например, или .
Разложение удобно вести по строке (столбцу), где больше нулей.
Квадратная матрица A называется невырожденной (вырожденной), если ее определитель ( ).
Матрица называется обратной к матрице A, если , где E –единичная квадратная матрица.
. (6.1.10)
Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда она не вырождена.