Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M0(x0,y0,zo) имеет вид
А(х -х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (6.2.13)
Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz+D=0, (6.2.14)
представляющее собой уравнение первой степени относительно переменных x,y и z.
Геометрически удобное уравнение в отрезках
, (6.2.15)
где а,b,с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координатсоответственно.
Нормированное уравнение плоскости
xcosα + ycosβ + zcosg-ρ = 0, (6.2.16)
где ρ - расстояние плоскости от начала координат; a,β,g - углы образованные единичным вектором нормали к плоскости (он направлен от начала координат к плоскости) с соответствующими осями координат.
Если дана плоскость общим уравнением (6.2.14), то
μАх + μDy + μСz+ μD= О
будет нормированным уравнением той же плоскости, если
,
где знак выбирается противоположным знаку D - свободного члена в общем уравнении.
Нормированное уравнение (6.2.16) позволяет получить отклонение δ и
расстояние d от заданной точки Мо(х0, у0,z0) до плоскости
δ = x0cosα + y0cosβ + z0cosγ -ρ, (6.2.17)
d = \ δ \. (6.2.18)
Условия перпендикулярности, параллельности и угол между плоскостями совпадают с аналогичными условиями для векторов, нормальных к этим плоскостям.