Нехай задано систему векторів a1 , a2 ,…, ak в n-вимірному просторі:
Складемо із компонент векторів прямокутну таблицю, яка називається прямокутною матрицею і позначається буквою А:
або
Таким чином, задання системи векторів у n-вимірному просторі означає задання матриці, яку складено з компонент векторів даної системи. Для одновимірного простору, n= 1, матриця перетворюється або на матрицю-рядок, або на матрицю-стовпець.
Для двовимірного простору (n=2) матриця набуває вигляду
Для тривимірного простору (n=3) маємо
Нехай дано k векторів Помножимо кожний вектор на число λj , де j =1,2,…,k, і знайдені результати додамо. У результаті цього дістанемо вектор, який називається лінійною комбінацією даних векторів:
Числа λj називаються коефіцієнтами даної лінійної комбінації.
Якщо вектор має компоненти (a1j, a2j, … , anj), а вектор має компоненти (b1 , b2 ,…, bn), то рівність запишеться у вигляді
(2.2)
або
Ці рівності рівносильні. У першому випадку залежність записано у векторній формі, а у другому – в скалярній.
Розглянемо питання про те, чи може дорівнювати нулю лінійна комбінація векторів:
Якщо рівність можлива за умови, що принаймні одне з чисел λj де j=1, 2,…,k, не дорівнює нулю, то система даних векторів називається лінійно залежною, а рівність називається нетривіальною. Якщо ж рівність можлива лише за умови, що всі λj=0 одночасно дорівнюють нулю, то система даних векторів називається лінійно незалежною,а рівність - тривіальною.