Ортонормированный базис.

Определение.Систему векторов в евклидовом пространстве назовем ортонормированной, если каковы бы ни были номера .

Утверждение. Ортонормированная система векторов линейно независима.

Док-во. Пусть нам дана ортонормированная система векторов. Рассмотрим ее линейную комбинацию: . Из которой вытекает, что при произвольном . В самом деле умножим обе части равенства скалярно на . Все слагаемые, кроме -го обратятся в , и мы получим .

Т.о. каждая равная нулю линейная комбинация векторов необходимо тривиальна.

В -мерном евклидовом пространстве существует ортонормированная система из векторов, и эта система является ортонормированным базисом.

Процесс ортогонализации линейно независимых элементов выглядит следующим образом:

,где

,где

где .