Нормальное распределение

Нормальное распределение (распределение Гаусса) является предельным случаем почти всех реальных распределений вероятности. Поэтому оно используется в очень большом числе реальных приложений теории вероятностей.

СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

(14)

Это равносильно тому, что

(15)

СВ, имеющая нормальное распределение, называется нормально распределенной или нормальной. Графики плотности вероятности и функции распределения нормальной СВ изображены на рис.1 и 2.

0 m – σ m m + σ x

Рис.1. График плотности вероятности нормального распределения СВ Х.

0 m x

Рис.2. Функция распределения нормальной СВ.

Как видно из формул (1) и (2), нормальное распределение зависит от параметров m и σ и полностью определяется ими. При этом m = M (X),
σ = σ (Х), т.е. D (X) = σ², π = 3,14159…, e = 2,71828….

Если СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами M (X) = m и
σ (Х) = σ, то символически это можно записать так:

Х ~ N (m, σ) или Х ~ N (m, σ²).

Очень важным частным случаем нормального распределения является ситуация, когда m = 0 и σ = 1. В этом случае говорят о стандартизированном (стандартном) нормальном распределении.

Стандартизированную нормальную СВ обозначают через U (U ~ N (0,1)), учитывая при этом, что

; (16)

Для практических расчетов специально разработаны таблицы функций
f (u), F (u) стандартизированного нормального распределения, но чаще используется так называемая таблица значений Лапласа Ф (u). Функция Лапласа имеет вид:

(17)

Эту таблицу можно использовать для любой нормальной СВ
Х ( Х ~ N (m, σ)) при расчете соответствующих вероятностей:

(18)

Заметим, что если Х ~ N (m, σ), то ~ N(0,1).

Как видно из предыдущих рисунков, нормально распределенная СВ Х ведет себя достаточно предсказуемо. График ее плотности вероятности (рис.1) симметричен относительно прямой Х = m. Площадь фигуры под графиком плотности вероятности должна оставаться равной единице при любых значениях m и σ. Следовательно, чем меньше значение σ, тем более крутым является график.

Кроме того, справедливы следующие соотношения:

Р ( ‌ Х – M (Х) ‌ < σ) = 0,68; Р ( ‌ Х – M (Х) ‌ < 2σ) = 0,95;

Р ( ‌ Х – M (Х) ‌ < 3σ) = 0,9973.

Другими словами, значения нормально распределенной СВ
Х ( Х ~ N (m, σ)) на 99,73 % сосредоточены в области [ m – 3σ, m + 3σ ].

Важным является тот факт, что линейная комбинация произвольного количества нормальных СВ имеет нормальное распределение. При этом, если Х ~ N (m_х, σ_х) и Y ~ N (m_y, σ_y) – независимые СВ, то

Z = aX + bY ~ N (m_z, σ), (19)

где m_z= a m_х + b m_y; σ_z² = a² σ_x² + b² σ_y².

Многие экономические показатели имеют нормальный или близкий к нормальному закон распределения. Например, доход населения, прибыль фирм в отрасли, объем потребления и т.д. имеют близкое к нормальному распределение.

Нормальное распределение используется при проверке различных гипотез в статистике (о величине математического ожидания при известной дисперсии, о равенстве математических ожиданий и т.д.).

Часто при моделировании экономических процессов приходится рассматривать СВ, которые представляют собой алгебраическую комбинацию нескольких СВ. Существенную роль в этом играет ряд специально разработанных теоретических законов распределений. К ним относятся χ² – распределение, распределения Стьюдента и Фишера.

Распределение χ² (хи – квадрат)

Пусть Х_i, i = 1, 2, …, n – независимые нормально распределенные СВ с математическими ожиданиями m_i и средними квадратическими отклонениями σ_i соответственно, т.е. Х_i ~ N (m_i, σ_i).

Тогда СВ , i = 1, 2, …, n, являются независимыми СВ, имеющими стандартизированное нормальное распределение, U_i ~ N (0,1).

СВ χ² имеет хи – квадрат распределение с nстепенями свободы (χ² ~ χ_n²), если (20).

Отметим, что число степеней свободы (это число обозначается v) исследуемой СВ определяется числом СВ, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними.

Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, определяется числом v = m – n. Таким образом, U² ~ χ₁².

Из определения (20) следует, что распределение χ² определяется одним параметром – числом степеней свободы v.

График плотности вероятности СВ, имеющий χ² – распределение, лежит только в первой четверти декартовой системы координат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом» (рис.3). Но с увеличением числа степеней свободы распределение χ² постепенно приближается к нормальному:

Рис. 3. График плотности вероятности СВ Х, имеюший χ²– распределение.

M (χ²) = v = n – m,

D (χ²) = 2 v = 2 (n – m).

Если Х и Y – две независимые χ² – распределенные СВ с числами степеней свободы n и k соответственно (Х ~ χ_n², Y ~ χ_k² ), то их сумма (Х + Y) также является χ² – распределенной СВ с числом степеней свободы v = n + k.

Распределение χ² применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точек χ² – распределения.